Что такое наименьший общий знаменатель?
Наименьший общий знаменатель двух или больше дробей — это наименьшее число, которое делится на все знаменатели. Для 1/4 и 1/6 это 12. Он равен наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей.
Складывать, вычитать и сравнивать можно только дроби с одинаковым знаменателем. Наименьший общий знаменатель самый маленький из возможных, поэтому числа остаются небольшими. О НОК в целом рассказывает страница Калькулятор НОК: наименьшее общее кратное; эта страница посвящена знаменателям.
Как калькулятор общего знаменателя LCD находит ответ: три способа
1. Выписать кратные знаменателей
Кратные 4: 4, 8, 12, 16. Кратные 6: 6, 12, 18. Первое общее кратное равно 12, значит, наименьший общий знаменатель 1/4 и 1/6 равен 12.
2. Разложение на простые множители
4 = 2² и 6 = 2 × 3. Возьмите каждый простой множитель в наибольшей степени: 2² × 3 = 12. Этот способ подходит для больших знаменателей и для трёх и более дробей.
3. Проверить, делится ли один знаменатель на другой
Для 1/3 и 1/9 число 9 кратно 3, поэтому ответ 9 без лишних действий. У 1/5 и 1/7 знаменатели не имеют общих множителей, поэтому ответ 5 × 7 = 35.
Пример с решением: сложить 1/4 и 1/6
- Наименьший общий знаменатель = НОК(4, 6) = 12.
- 1/4 = 3/12 (умножьте числитель и знаменатель на 3); 1/6 = 2/12 (умножьте на 2).
- 3/12 + 2/12 = 5/12.
Три дроби: 1/2, 1/3 и 1/4
Общий знаменатель = НОК(2, 3, 4) = 12. После приведения: 6/12, 4/12, 3/12. Сумма = 13/12 = 1 1/12.
Смешанные числа и десятичные дроби
Сначала переведите их в обыкновенные дроби. 2 1/3 = 7/3 и 1 1/4 = 5/4, значит, общий знаменатель НОК(3, 4) = 12, а сумма 43/12 = 3 7/12. Десятичная дробь 0.5 становится 5/10 (или 1/2 после сокращения); калькулятор принимает обе формы.
Наименьший общий знаменатель, НОК и НОД
| Термин | К чему относится | Для чего | Пример |
|---|---|---|---|
| Наименьший общий знаменатель | знаменатели дробей | сложение, вычитание, сравнение дробей | 1/4 + 1/6 → 12 |
| НОК | целые числа | повторяющиеся события; сам общий знаменатель | НОК(4, 6) = 12 |
| НОД | целые числа | сокращение дроби, равные группы | 6/8 ÷ 2 = 3/4 |
НОК самих дробей (НОК числителей ÷ НОД знаменателей) — это другая задача.
Таблица общих знаменателей
| Знаменатели | Общий знаменатель | НОД |
|---|---|---|
| 2 и 3 | 6 | 1 |
| 2 и 4 | 4 | 2 |
| 3 и 4 | 12 | 1 |
| 4 и 6 | 12 | 2 |
| 6 и 8 | 24 | 2 |
| 5 и 10 | 10 | 5 |
| 6 и 9 | 18 | 3 |
| 8 и 12 | 24 | 4 |
| 10 и 15 | 30 | 5 |
| 12 и 18 | 36 | 6 |
Наименьший общий знаменатель с переменными
Разложите каждый знаменатель на множители и возьмите каждый множитель в наибольшей степени. У 1/(x + 2) + 1/(x − 1) общий знаменатель (x + 2)(x − 1); у 1/x² + 1/(xy) это x²y. Правило то же, что для простых множителей.
Частые вопросы
Что такое наименьший общий знаменатель?
Это наименьшее число, которое делится на все знаменатели двух или больше дробей. Для 1/4 и 1/6 это 12, потому что 12 — первое число, которое делится на 4 и на 6.
Как найти общий знаменатель двух дробей?
Найдите НОК двух знаменателей. Для 1/4 и 1/6: НОК(4, 6) = 12. Приведите каждую дробь: 1/4 = 3/12 и 1/6 = 2/12.
Как найти его для трёх дробей?
Найдите НОК трёх знаменателей. Для 1/2, 1/3 и 1/4: НОК(2, 3, 4) = 12, получается 6/12, 4/12, 3/12.
Наименьший общий знаменатель и НОК — это одно и то же?
Да, в том смысле, что это НОК знаменателей. НОК относится к целым числам; здесь то же число служит общим знаменателем.
Чем он отличается от НОД?
Общий знаменатель нужен, чтобы складывать и вычитать дроби с разными знаменателями. НОД (наибольший общий делитель) нужен, чтобы сокращать дробь.
Как найти его с переменными?
Разложите каждый знаменатель на множители и возьмите каждый в наибольшей степени. Для 1/(x + 2) и 1/(x − 1) это (x + 2)(x − 1); для 1/x² и 1/(xy) это x²y.
Нужен ли он для умножения дробей?
Нет. Для умножения и деления дробей общий знаменатель не нужен. Он нужен только для сложения, вычитания и сравнения.
Можно ли взять любой общий знаменатель?
Да. Подойдёт любое общее кратное знаменателей, например 4 × 6 = 24 для 1/4 и 1/6. Наименьший оставляет числа небольшими и упрощает сокращение в конце.
Источники
- Wikipedia: Lowest common denominator: определение (на английском)
- Wolfram MathWorld: Least Common Multiple: свойства НОК (на английском)