Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache?
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV, LCM) von zwei oder mehr ganzen Zahlen ist die kleinste positive Zahl, die durch alle diese Zahlen ohne Rest teilbar ist. kgV(12, 15, 75) = 300. Mit dem kgV-Rechner oben bekommst du es für deine eigenen Zahlen.
Sind die Zahlen die Nenner von Brüchen, nennt man es auch den kleinsten gemeinsamen Nenner (Hauptnenner). Man braucht es, um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, um sich wiederholende Ereignisse abzugleichen (zwei Busse alle 12 und 15 Minuten treffen sich nach 60 wieder) und in Algebra und Zahlentheorie.
Der verwandte Begriff ist der größte gemeinsame Teiler (ggT, GCF oder GCD): die größte Zahl, die alle Zahlen teilt. Für zwei Zahlen sind beide verknüpft durch LCM × GCF = a × b.
kgV bestimmen mit dem kgV-Rechner: sechs Methoden
Der Rechner zeigt jede dieser Methoden für deine eigenen Zahlen. Wähle eine unter „Rechenweg anzeigen“.
kgV durch Auflisten der Vielfachen finden
Schreibe die Vielfachen jeder Zahl auf, bis dasselbe Vielfache in jeder Liste vorkommt. Für 18, 26:
Schreibe die Vielfachen jeder Zahl auf, bis ein Vielfaches in jeder Zeile vorkommt. Die erste Zahl, die in allen Zeilen steht, ist das kleinste gemeinsame Vielfache.
234 ist das erste Vielfache, das alle Zahlen gemeinsam haben.
kgV(18, 26) = 234
kgV(18, 26) = 234. Das funktioniert, aber bei größeren Zahlen werden die Listen sehr lang, nimm dann eine der folgenden Methoden.
kgV durch Primfaktorzerlegung finden
Zerlege jede Zahl in Primfaktoren, nimm von jeder vorkommenden Primzahl die höchste Potenz und multipliziere. Für 12, 15, 75:
Zerlege jede Zahl in Primfaktoren.
- 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
- 15 = 3 × 5
- 75 = 3 × 5 × 5 = 3 × 5²
Nimm von jeder vorkommenden Primzahl die höchste Potenz und multipliziere sie miteinander.
| Primzahl | Höchste Potenz | Aus |
|---|---|---|
| 2 | 2² | 12 |
| 3 | 3 | 12, 15, 75 |
| 5 | 5² | 75 |
kgV = 2² × 3 × 5² = 300
kgV(12, 15, 75) = 300
Höchste Potenzen: 2² × 3 × 5² = 300. Diese Methode sollte man lernen: Sie funktioniert für beliebig viele Zahlen jeder Größe.
kgV durch Primfaktorzerlegung mit Exponenten finden
Schreibe jede der Zahlen 12, 15, 75 als Produkt von Primzahlen mit Exponenten und ordne die Primzahlen in einem Raster an. Das kgV nimmt von jeder Primzahl den höchsten Exponenten, egal aus welcher Zahl er stammt.
| Zahl | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|
| 12 | ✓ 22 | ✓ 31 | 50 |
| 15 | 20 | ✓ 31 | 51 |
| 75 | 20 | ✓ 31 | ✓ 52 |
| Höchster Exponent | 22 | 31 | 52 |
kgV = 2² × 3 × 5² = 300
Jede Spalte lesen und den größten Exponenten behalten – das ist die ganze Methode, und deshalb funktioniert die Primfaktorzerlegung für beliebig viele Zahlen jeder Größe.
- Eine Primzahl, die in einer Zahl fehlt, hat den Exponenten 0 und senkt das kgV nie.
- Behält man in jeder gemeinsamen Spalte den kleinsten Exponenten, erhält man den ggT.
- Hat keine Spalte zwei Exponenten ungleich 0, sind die Zahlen teilerfremd und das kgV ist ihr Produkt.
kgV mit der Leitermethode (Kuchenmethode) finden
Schreibe die Zahlen in eine Zeile und teile durch eine Primzahl, die in mindestens zwei von ihnen aufgeht; die anderen übernimmst du unverändert. Wiederhole das, bis nichts mehr gemeinsam ist. Multipliziere die Teiler links mit den unten übrigen Zahlen. Für 12, 15, 75: teile durch 3, 5; die unterste Zeile ist 4, 1, 5; kgV = 3 × 5 × 4 × 1 × 5 = 300.
Schreibe die Zahlen in eine Zeile. Teile durch eine Primzahl, die in mindestens zwei von ihnen aufgeht; Zahlen, die sie nicht teilt, werden unverändert übernommen. Wiederhole das, bis keine Primzahl mehr zwei oder mehr Zahlen teilt.
| 3 | 12 | 15 | 75 |
|---|---|---|---|
| 5 | 4 | 5 | 25 |
| 4 | 1 | 5 |
Multipliziere die Teiler links mit den Zahlen, die in der untersten Zeile übrig bleiben:
kgV = 3 × 5 × 4 × 1 × 5 = 300
kgV(12, 15, 75) = 300
kgV mit der Divisionsmethode finden
Wie die Leitermethode, aber du teilst durch die kleinste Primzahl, die in irgendeine Zahl aufgeht, und machst weiter, bis jede Zahl 1 ist. Das kgV ist das Produkt aller Teiler. Es ist dieselbe Rechnung wie die Primfaktorzerlegung, als Tabelle aufgeschrieben.
Teile die Zeile durch die kleinste Primzahl, die in mindestens eine Zahl aufgeht; übernimm den Rest unverändert. Mache weiter, bis jede Zahl 1 ist. Das kgV ist das Produkt aller Teiler links.
| 2 | 12 | 15 | 75 |
|---|---|---|---|
| 2 | 6 | 15 | 75 |
| 3 | 3 | 15 | 75 |
| 5 | 1 | 5 | 25 |
| 5 | 1 | 1 | 5 |
| 1 | 1 | 1 |
kgV = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 2² × 3 × 5² = 300
kgV(12, 15, 75) = 300
kgV über den ggT finden
Für zwei Zahlen gilt LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b). Bei mehr Zahlen verkettet man: kgV der ersten beiden, dann kgV dieses Ergebnisses und der nächsten Zahl. Für 21, 14, 38:
Für zwei Zahlen gilt LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b). Bei mehr Zahlen bestimme das kgV der ersten beiden, dann das kgV dieses Ergebnisses und der nächsten Zahl, und so weiter.
- ggT(21, 14) = 7, also kgV(21, 14) = 21 × 14 ÷ 7 = 294 ÷ 7 = 42
- ggT(42, 38) = 2, also kgV(42, 38) = 42 × 38 ÷ 2 = 1.596 ÷ 2 = 798
kgV(21, 14, 38) = 798
kgV(21, 14, 38) = 798.
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) heißt auch:
- ggT, größter gemeinsamer Teiler
- GCF, greatest common factor (englische Texte)
- HCF, highest common factor (Großbritannien und Indien)
kgV mit Venn-Diagrammen finden
Schreibe die Primfaktoren jeder Zahl in einen Kreis, gemeinsame Faktoren einmal in die Überschneidung. Das Produkt aller Faktoren im Diagramm ergibt das kgV; die Überschneidung allein ergibt den ggT. Das funktioniert für zwei oder drei Zahlen und zeigt gut, warum LCM × GCF = a × b gilt.
Schreibe die Primfaktoren jeder Zahl in ihren Kreis. Faktoren, die zwei (oder drei) Zahlen gemeinsam haben, kommen einmal in die Überschneidung. Multipliziere jeden Faktor im Diagramm, um das kgV zu erhalten; die Überschneidung allein ergibt den ggT.
kgV = 2 × 2 × 5 × 5 × 3 = 300
ggT = 3 (der mittlere Bereich) = 3
kgV(12, 15, 75) = 300
Welche Methode soll ich verwenden?
Verwende die Primfaktorzerlegung, außer die Zahlen sind klein; dann ist das Auflisten der Vielfachen schneller aufgeschrieben. Nimm die ggT-Formel, wenn du den ggT schon kennst, und die Leitermethode, wenn deine Klasse eine Tabelle erwartet.
| Methode | Geeignet für | Zahlen | Zeigt auch den ggT |
|---|---|---|---|
| Vielfache auflisten | Kleine Zahlen, erste Stunden | 2 oder 3 | Nein |
| Primfaktorzerlegung | Beliebige Zahlen, Rechenweg zeigen | Beliebig | Ja (gemeinsame Primzahlen, niedrigste Potenz) |
| Leitermethode | Klassen, die die Leiter lernen | 2 bis 5 | Ja (die linke Spalte) |
| Divisionsmethode | Indische und britische Lehrpläne | Beliebig | Nein |
| ggT-Formel | Zwei Zahlen, wenn der ggT bekannt ist | 2 (verkettet für mehr) | Verwendet ihn |
| Venn-Diagramm | Sehen, warum LCM × GCF = a × b | 2 oder 3 | Ja (die Überschneidung) |
kgV-Formel
LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b)
Für mehr als zwei Zahlen gibt es keine einzelne Formel; verwende die Primfaktorzerlegung oder verkette die Formel für zwei Zahlen.
kgV von Dezimalzahlen finden
- Multipliziere jede Dezimalzahl mit 10, 100 oder 1.000, bis alle ganze Zahlen sind – mit derselben Zehnerpotenz für alle.
- Bestimme das kgV dieser ganzen Zahlen mit einer der Methoden oben.
- Teile dieses kgV durch dieselbe Zehnerpotenz.
Für 0.6, 0.4: mal 10 ergibt 6, 4; kgV = 12; geteilt durch 10 → 1.2.
Multipliziere Dezimalzahlen mit 10, 100 oder 1.000, bis sie ganze Zahlen sind, bestimme das kgV und teile dann zurück: LCM(0.5, 2.5) → LCM(5, 25) = 25 → 2.5. Bei Brüchen ist das kgV der Brüche das kgV der Zähler geteilt durch den ggT der Nenner, und die Zahl zum Addieren von Brüchen ist der Hauptnenner aus dem Hauptnenner-Rechner. Beides wird auf kgV von Brüchen und Dezimalzahlen vorgerechnet.
Eigenschaften des kgV
Diese Regeln gelten für alle positiven ganzen Zahlen. Jede Karte nennt die Regel und prüft sie mit echten Zahlen.
Das kgV ist assoziativ
kgV(a, kgV(b, c)) = kgV(kgV(a, b), c): Drei Zahlen lassen sich in beliebiger Reihenfolge gruppieren, das kgV bleibt gleich.
kgV(4, kgV(6, 8)) = kgV(4, 24) = 24
kgV(kgV(4, 6), 8) = kgV(12, 8) = 24
Das kgV ist kommutativ
kgV(a, b) = kgV(b, a): Die Reihenfolge der Zahlen spielt keine Rolle.
kgV(6, 8) = 24
kgV(8, 6) = 24
Das kgV ist distributiv
kgV(a, ggT(b, c)) = ggT(kgV(a, b), kgV(a, c)): Das kgV ist distributiv über den größten gemeinsamen Teiler.
kgV(4, ggT(6, 10)) = kgV(4, 2) = 4
ggT(kgV(4, 6), kgV(4, 10)) = ggT(12, 20) = 4
Das kgV hängt mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) zusammen
kgV(a, b) × ggT(a, b) = a × b für zwei beliebige Zahlen; kennt man das eine, hat man das andere. Ist ggT(a, b) = 1, ist das kgV einfach a × b.
kgV(12, 18) × ggT(12, 18) = 36 × 6 = 216
12 × 18 = 216
kgV eines Bereichs: 1 bis 10 und 1 bis 20
LCM(1 bis 10) = 2.520 = 2³ × 3² × 5 × 7. LCM(1 bis 20) = 232.792.560 = 2⁴ × 3² × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19.
Für einen Bereich nimm jede Primzahl bis zur größten Zahl in der höchsten Potenz, die noch in den Bereich passt: für 1 bis 10 sind das 2³ = 8, 3² = 9, 5 und 7. Gib eine beliebige Liste von bis zu 15 Zahlen in den Rechner ein, um das kgV eines Bereichs oder einer Menge zu erhalten.
kgV-Tabelle für 1 bis 12
| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 2 | 2 | 2 | 6 | 4 | 10 | 6 | 14 | 8 | 18 | 10 | 22 | 12 |
| 3 | 3 | 6 | 3 | 12 | 15 | 6 | 21 | 24 | 9 | 30 | 33 | 12 |
| 4 | 4 | 4 | 12 | 4 | 20 | 12 | 28 | 8 | 36 | 20 | 44 | 12 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 5 | 30 | 35 | 40 | 45 | 10 | 55 | 60 |
| 6 | 6 | 6 | 6 | 12 | 30 | 6 | 42 | 24 | 18 | 30 | 66 | 12 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 7 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 |
| 8 | 8 | 8 | 24 | 8 | 40 | 24 | 56 | 8 | 72 | 40 | 88 | 24 |
| 9 | 9 | 18 | 9 | 36 | 45 | 18 | 63 | 72 | 9 | 90 | 99 | 36 |
| 10 | 10 | 10 | 30 | 20 | 10 | 30 | 70 | 40 | 90 | 10 | 110 | 60 |
| 11 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 110 | 11 | 132 |
| 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 60 | 12 | 84 | 24 | 36 | 60 | 132 | 12 |
Häufige Fehler
- Niedrigste statt höchste Potenz. 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3². Das kgV verwendet 2² und 3² (36). Die niedrigsten Potenzen ergeben den ggT (6).
- Alle Zahlen multiplizieren. 12 × 18 = 216 ist ein gemeinsames Vielfaches, aber nicht das kleinste.
- Die Divisionstabelle zu früh beenden. Teile weiter, bis jeder Eintrag 1 ist.
- kgV und ggT verwechseln. Der ggT ist nie größer als die Zahlen; das kgV ist nie kleiner.
Wo das kgV gebraucht wird
- Brüche addieren: 1/12 + 1/15 verwendet den Hauptnenner 60, das kgV von 12 und 15.
- Sich wiederholende Ereignisse: Busse alle 12 und 15 Minuten fahren nach 60 Minuten wieder gemeinsam ab; zwei Zahnräder mit 12 und 18 Zähnen stehen nach 36 Zähnen wieder gleich.
- Zeitpläne und Kacheln: Das kleinste Quadrat aus 6 × 8-Rechtecken hat die Seite 24, das kgV von 6 und 8.
ggT und kgV zusammen
Die Ergebniskarte oben zeigt bei jeder Rechnung den größten gemeinsamen Teiler neben dem kgV, denn beide ergeben sich aus denselben Primfaktoren und sind für zwei Zahlen durch LCM × GCF = a × b verknüpft: für 18, 26 gilt 234 × 2 = 468 = 18 × 26.
Häufig gestellte Fragen
Was ist das kgV von zwei Primzahlen?
Ihr Produkt. Primzahlen haben keine gemeinsamen Faktoren, also LCM(7, 11) = 77. Dasselbe gilt für alle zwei Zahlen mit ggT 1, etwa 8 und 9 (kgV = 72).
Ist das kgV dasselbe wie das kleinste gemeinsame Vielfache oder der kleinste gemeinsame Nenner?
Kleinstes gemeinsames Vielfaches ist nur der ausgeschriebene Name. Der kleinste gemeinsame Nenner (Hauptnenner) ist das kgV der Nenner von zwei oder mehr Brüchen und dient zum Addieren oder Subtrahieren: Um 1/12 und 1/15 zu addieren, verwendet man 60, das kgV von 12 und 15.
Was ist das kleinste Vielfache?
Das kleinste Vielfache einer einzelnen Zahl ist die Zahl selbst (das kleinste Vielfache von 6 ist 6). Meist ist damit das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei oder mehr Zahlen gemeint: die kleinste Zahl, die durch alle teilbar ist. LCM(6, 8) = 24.
Wie berechne ich kgV und ggT zusammen?
Zerlege jede Zahl in Primfaktoren. Das kgV nimmt jede Primzahl in der höchsten Potenz; der ggT nimmt die gemeinsamen Primzahlen in der niedrigsten Potenz. Für 12 und 18: kgV = 2² × 3² = 36, ggT = 2 × 3 = 6, und 36 × 6 = 216 = 12 × 18.
Wie wird das kgV Schritt für Schritt berechnet?
Schritt 1: Schreibe jede Zahl als Produkt von Primzahlen. Schritt 2: Liste jede vorkommende Primzahl auf. Schritt 3: Nimm jede Primzahl in der höchsten Potenz, die sie in einer der Zahlen erreicht. Schritt 4: Multipliziere diese Potenzen. Für 12, 15, 75: 12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5, 75 = 3 × 5²; höchste Potenzen 2² × 3 × 5²; kgV = 300. Wähle oben „Primfaktorzerlegung“, um diese vier Schritte für deine Zahlen zu sehen.
Kann ich eine Rechnung teilen oder speichern?
Ja. Jede Rechnung hat ihren eigenen Link, zum Beispiel ?n=12,15,75&m=primes. Klicke unter dem Ergebnis auf „Link kopieren“ und füge ihn irgendwo ein; beim Öffnen erscheinen dieselben Zahlen und derselbe Rechenweg.
Diesen Rechner zitieren
APA: Least Multiple Calculator. (2026). Least Multiple Calculator. Abgerufen am 2026-11-02 von https://leastmultiplecalculator.com/de/
<a href="https://leastmultiplecalculator.com/de/">Least Multiple Calculator</a>Quellen
- Wikipedia, Kleinstes gemeinsames Vielfaches: Definition, Schreibweise, die Beziehung LCM × GCD = a × b, Anwendungen.
- Wolfram MathWorld, Least Common Multiple: formale Eigenschaften.
- Common Core State Standards, 6.NS.B.4: ggT und kgV in Klasse 6.