Что такое наименьшее общее кратное?
Наименьшее общее кратное (НОК, LCM) двух и более целых чисел — это наименьшее положительное число, которое делится на каждое из них без остатка. НОК(12, 15, 75) = 300. Используйте калькулятор НОК выше для своих чисел.
Если числа — знаменатели дробей, его называют также наименьшим общим знаменателем. Он нужен, чтобы складывать и вычитать дроби, согласовывать повторяющиеся события (два автобуса каждые 12 и 15 минут снова встретятся через 60) и в алгебре и теории чисел.
Родственное понятие — наибольший общий делитель (НОД, GCF, GCD или HCF): наибольшее число, на которое делятся все данные числа. Для двух чисел они связаны равенством LCM × GCF = a × b.
Калькулятор НОК: как найти НОК шестью способами
Калькулятор показывает каждый из них для ваших чисел. Выберите способ в разделе «Показать решение».
Как найти НОК перебором кратных
Выписывайте кратные каждого числа, пока одно и то же не появится в каждом списке. Для 18, 26:
Выписывайте кратные каждого числа, пока одно кратное не появится в каждой строке. Первое число, встречающееся во всех строках, и есть наименьшее общее кратное.
234 — первое кратное, общее для всех чисел.
НОК(18, 26) = 234
НОК(18, 26) = 234. Способ работает, но для больших чисел списки становятся очень длинными, поэтому используйте один из способов ниже.
Как найти НОК разложением на простые множители
Разложите каждое число на простые множители, возьмите наибольшую степень каждого встречающегося простого и перемножьте. Для 12, 15, 75:
Разложите каждое число на простые множители.
- 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
- 15 = 3 × 5
- 75 = 3 × 5 × 5 = 3 × 5²
Возьмите наибольшую степень каждого встречающегося простого числа и перемножьте их.
| Простое | Наибольшая степень | Из |
|---|---|---|
| 2 | 2² | 12 |
| 3 | 3 | 12, 15, 75 |
| 5 | 5² | 75 |
НОК = 2² × 3 × 5² = 300
НОК(12, 15, 75) = 300
Наибольшие степени: 2² × 3 × 5² = 300. Этот способ стоит выучить: он работает для любого количества чисел любой величины.
Как найти НОК разложением на простые множители со степенями
Запишите каждое из чисел 12, 15, 75 как произведение простых чисел со степенями и выстройте простые числа в таблицу. НОК берёт наибольший показатель каждого простого, из какого бы числа он ни пришёл.
| Число | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|
| 12 | ✓ 22 | ✓ 31 | 50 |
| 15 | 20 | ✓ 31 | 51 |
| 75 | 20 | ✓ 31 | ✓ 52 |
| Наибольший показатель | 22 | 31 | 52 |
НОК = 2² × 3 × 5² = 300
Прочитать каждый столбец и оставить наибольший показатель — вот весь метод; поэтому разложение на простые множители работает для любого количества чисел любого размера.
- Простое число, которого нет в числе, имеет показатель 0 и никогда не уменьшает НОК.
- Если оставить наименьший показатель в каждом общем столбце, получится НОД.
- Если ни в одном столбце нет двух ненулевых показателей, числа взаимно просты и НОК равно их произведению.
Как найти НОК методом лестницы (методом торта)
Запишите числа в строку и разделите на простое число, на которое делятся хотя бы два из них, остальные перенесите вниз. Повторяйте, пока общих множителей не останется. Перемножьте делители слева и числа, оставшиеся внизу. Для 12, 15, 75: делим на 3, 5; нижняя строка — 4, 1, 5; НОК = 3 × 5 × 4 × 1 × 5 = 300.
Запишите числа в строку. Разделите на простое число, на которое делятся хотя бы два из них; числа, которые оно не делит, переносятся вниз без изменений. Повторяйте, пока ни одно простое не будет делить два или более числа.
| 3 | 12 | 15 | 75 |
|---|---|---|---|
| 5 | 4 | 5 | 25 |
| 4 | 1 | 5 |
Перемножьте делители слева и числа, оставшиеся в нижней строке:
НОК = 3 × 5 × 4 × 1 × 5 = 300
НОК(12, 15, 75) = 300
Как найти НОК методом деления
Как лесенка, но делят на наименьшее простое число, на которое делится хотя бы одно число, и продолжают, пока каждое число не станет 1. НОК — произведение всех делителей. Это та же арифметика, что и разложение на простые множители, только в виде таблицы.
Разделите строку на наименьшее простое число, на которое делится хотя бы одно число; остальные перенесите вниз. Продолжайте, пока каждое число не станет 1. НОК — произведение всех делителей слева.
| 2 | 12 | 15 | 75 |
|---|---|---|---|
| 2 | 6 | 15 | 75 |
| 3 | 3 | 15 | 75 |
| 5 | 1 | 5 | 25 |
| 5 | 1 | 1 | 5 |
| 1 | 1 | 1 |
НОК = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 2² × 3 × 5² = 300
НОК(12, 15, 75) = 300
Как найти НОК через НОД
Для двух чисел LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b). Для большего количества чисел применяйте по цепочке: НОК первых двух, затем НОК этого результата и следующего числа. Для 21, 14, 38:
Для двух чисел LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b). Если чисел больше, найдите НОК первых двух, затем НОК этого результата и следующего числа, и так далее.
- НОД(21, 14) = 7, значит НОК(21, 14) = 21 × 14 ÷ 7 = 294 ÷ 7 = 42
- НОД(42, 38) = 2, значит НОК(42, 38) = 42 × 38 ÷ 2 = 1 596 ÷ 2 = 798
НОК(21, 14, 38) = 798
НОК(21, 14, 38) = 798.
Наибольший общий делитель (НОД) также называют:
- НОД, наибольший общий делитель
- GCF, greatest common factor (английские тексты)
- HCF, highest common factor (Великобритания и Индия)
Как найти НОК с помощью диаграмм Венна
Запишите простые множители каждого числа в круг, общие множители — один раз в пересечении. Произведение всех множителей на диаграмме даёт НОК; одно только пересечение даёт НОД. Способ работает для двух или трёх чисел и наглядно показывает, почему LCM × GCF = a × b.
Запишите простые множители каждого числа в его круг. Множители, общие для двух (или трёх) чисел, записываются один раз в пересечении кругов. Перемножьте все множители на диаграмме, чтобы получить НОК; одно только пересечение даёт НОД.
НОК = 2 × 2 × 5 × 5 × 3 = 300
НОД = 3 (центральная область) = 3
НОК(12, 15, 75) = 300
Какой способ выбрать?
Используйте разложение на простые множители, если только числа не малы — тогда перебор кратных быстрее записать. Формулу через НОД применяйте, когда НОД уже известен, а лесенку — когда в классе требуют таблицу.
| Способ | Подходит для | Чисел | Показывает и НОД |
|---|---|---|---|
| Перебор кратных | Малые числа, первые уроки | 2 или 3 | Нет |
| Простые множители | Любые числа, запись решения | Любое | Да (общие простые, наименьшая степень) |
| Лесенка | Классы, где учат лесенку | От 2 до 5 | Да (левый столбец) |
| Метод деления | Индийские и британские программы | Любое | Нет |
| Формула через НОД | Два числа, когда НОД известен | 2 (по цепочке для большего) | Использует его |
| Диаграмма Венна | Понять, почему LCM × GCF = a × b | 2 или 3 | Да (пересечение) |
Формула НОК
LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b)
Для более чем двух чисел единой формулы нет; используйте разложение на простые множители или применяйте формулу для двух чисел по цепочке.
Как найти НОК десятичных дробей
- Умножьте каждую десятичную дробь на 10, 100 или 1 000, пока все не станут целыми, используя одну и ту же степень десяти для всех.
- Найдите НОК этих целых чисел любым методом выше.
- Разделите этот НОК на ту же степень десяти.
Для 0.6, 0.4: умножаем на 10 и получаем 6, 4; НОК = 12; делим на 10 → 1.2.
Умножьте десятичные дроби на 10, 100 или 1 000, пока они не станут целыми, найдите НОК, затем разделите обратно: LCM(0.5, 2.5) → LCM(5, 25) = 25 → 2.5. Для обыкновенных дробей НОК дробей равен НОК числителей, делённому на НОД знаменателей, а число для сложения дробей — это общий знаменатель из Калькулятор наименьшего общего знаменателя. Оба случая разобраны на странице НОК дробей и десятичных дробей.
Свойства НОК
Эти правила верны для любых положительных целых чисел. Каждая карточка формулирует правило и проверяет его на реальных числах.
НОК ассоциативно
НОК(a, НОК(b, c)) = НОК(НОК(a, b), c): группируйте три числа в любом порядке — НОК не изменится.
НОК(4, НОК(6, 8)) = НОК(4, 24) = 24
НОК(НОК(4, 6), 8) = НОК(12, 8) = 24
НОК коммутативно
НОК(a, b) = НОК(b, a): порядок чисел не важен.
НОК(6, 8) = 24
НОК(8, 6) = 24
НОК дистрибутивно
НОК(a, НОД(b, c)) = НОД(НОК(a, b), НОК(a, c)): НОК дистрибутивно относительно наибольшего общего делителя.
НОК(4, НОД(6, 10)) = НОК(4, 2) = 4
НОД(НОК(4, 6), НОК(4, 10)) = НОД(12, 20) = 4
НОК связано с наибольшим общим делителем (НОД)
НОК(a, b) × НОД(a, b) = a × b для любых двух чисел, поэтому зная одно, получаем другое. Если НОД(a, b) = 1, НОК равно просто a × b.
НОК(12, 18) × НОД(12, 18) = 36 × 6 = 216
12 × 18 = 216
НОК диапазона: от 1 до 10 и от 1 до 20
LCM(от 1 до 10) = 2 520 = 2³ × 3² × 5 × 7. LCM(от 1 до 20) = 232 792 560 = 2⁴ × 3² × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19.
Для диапазона возьмите каждое простое число до верхней границы в наибольшей степени, которая ещё помещается в диапазон: для чисел от 1 до 10 это 2³ = 8, 3² = 9, 5 и 7. Введите в калькулятор любой список до 15 чисел, чтобы получить НОК диапазона или набора.
Таблица НОК от 1 до 12
| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 2 | 2 | 2 | 6 | 4 | 10 | 6 | 14 | 8 | 18 | 10 | 22 | 12 |
| 3 | 3 | 6 | 3 | 12 | 15 | 6 | 21 | 24 | 9 | 30 | 33 | 12 |
| 4 | 4 | 4 | 12 | 4 | 20 | 12 | 28 | 8 | 36 | 20 | 44 | 12 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 5 | 30 | 35 | 40 | 45 | 10 | 55 | 60 |
| 6 | 6 | 6 | 6 | 12 | 30 | 6 | 42 | 24 | 18 | 30 | 66 | 12 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 7 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 |
| 8 | 8 | 8 | 24 | 8 | 40 | 24 | 56 | 8 | 72 | 40 | 88 | 24 |
| 9 | 9 | 18 | 9 | 36 | 45 | 18 | 63 | 72 | 9 | 90 | 99 | 36 |
| 10 | 10 | 10 | 30 | 20 | 10 | 30 | 70 | 40 | 90 | 10 | 110 | 60 |
| 11 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 110 | 11 | 132 |
| 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 60 | 12 | 84 | 24 | 36 | 60 | 132 | 12 |
Типичные ошибки
- Наименьшая степень вместо наибольшей. 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3². В НОК берутся 2² и 3² (36). Наименьшие степени дают НОД (6).
- Перемножение всех чисел. 12 × 18 = 216 — общее кратное, но не наименьшее.
- Преждевременная остановка таблицы деления. Делите, пока каждая запись не станет 1.
- Путаница НОК и НОД. НОД никогда не больше чисел; НОК никогда не меньше.
Где применяется НОК
- Сложение дробей: для 1/12 + 1/15 общий знаменатель 60 — это НОК чисел 12 и 15.
- Повторяющиеся события: автобусы каждые 12 и 15 минут снова отправятся вместе через 60 минут; две шестерни с 12 и 18 зубьями выровняются после прохода 36 зубьев.
- Расписания и замощение: наименьший квадрат, выложенный прямоугольниками 6 × 8, имеет сторону 24 — НОК чисел 6 и 8.
НОД и НОК вместе
Карточка ответа выше показывает наибольший общий делитель рядом с НОК при каждом вычислении, потому что оба находятся из одних и тех же простых множителей и для любых двух чисел связаны равенством LCM × GCF = a × b: для 18, 26, 234 × 2 = 468 = 18 × 26.
Часто задаваемые вопросы
Чему равен НОК двух простых чисел?
Их произведению. У простых чисел нет общих множителей, поэтому LCM(7, 11) = 77. То же верно для любых двух чисел с НОД, равным 1, например 8 и 9 (НОК = 72).
НОК — это то же самое, что наименьшее общее кратное или наименьший общий знаменатель?
Наименьшее общее кратное — это полное название НОК. Наименьший общий знаменатель — это НОК знаменателей двух и более дробей, нужный для их сложения или вычитания: чтобы сложить 1/12 и 1/15, берут 60, НОК чисел 12 и 15.
Что такое наименьшее кратное?
Наименьшее кратное одного числа — это само число (наименьшее кратное 6 равно 6). Обычно под этим выражением понимают наименьшее общее кратное двух и более чисел: наименьшее число, которое делится на все из них. LCM(6, 8) = 24.
Как вычислить НОК и НОД вместе?
Разложите каждое число на простые множители. Для НОК берут каждое простое в наибольшей степени; для НОД — общие простые в наименьшей степени. Для 12 и 18: НОК = 2² × 3² = 36, НОД = 2 × 3 = 6, и 36 × 6 = 216 = 12 × 18.
Как вычисляется НОК по шагам?
Шаг 1: запишите каждое число как произведение простых. Шаг 2: выпишите все встречающиеся простые. Шаг 3: возьмите каждое простое в наибольшей степени, которую оно достигает в каком-либо из чисел. Шаг 4: перемножьте эти степени. Для 12, 15, 75: 12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5, 75 = 3 × 5²; наибольшие степени 2² × 3 × 5²; НОК = 300. Выберите выше «Простые множители», чтобы увидеть эти четыре шага для своих чисел.
Можно ли поделиться вычислением или сохранить его?
Да. У каждого вычисления есть своя ссылка, например ?n=12,15,75&m=primes. Нажмите «Копировать ссылку» под результатом и вставьте её куда угодно; при открытии покажутся те же числа и решение.
Как цитировать этот калькулятор
APA: Least Multiple Calculator. (2026). Least Multiple Calculator. Дата обращения: 2026-11-02, https://leastmultiplecalculator.com/ru/
<a href="https://leastmultiplecalculator.com/ru/">Least Multiple Calculator</a>Источники
- Википедия, Наименьшее общее кратное: определение, обозначение, соотношение LCM × GCD = a × b, применения.
- Wolfram MathWorld, Least Common Multiple: формальные свойства.
- Common Core State Standards, 6.NS.B.4: НОД и НОК в 6 классе.