最小公倍数とは？
2つ以上の整数の最小公倍数（LCM）とは、それらすべてで割り切れる最小の正の数です。最小公倍数(12, 15, 75) = 300。 自分の数には上の最小公倍数計算機を使ってください。
数が分数の分母であるときは、最小公分母（LCD）とも呼ばれます。分数の足し算・引き算、繰り返し起こる出来事を合わせるとき（12 分おきと 15 分おきのバスは 60 分後に再び同時に出発します）、そして代数や整数論で必要になります。
関連する考え方が最大公約数（GCF、GCD や HCF とも）です：すべての数を割り切る最大の数です。2つの数では、両者は 最小公倍数 × 最大公約数 = a × b という関係で結ばれています。
最小公倍数計算機で最小公倍数を求める方法：6つの方法
計算機は、入力した数についてこれらの方法をそれぞれ表示します。「途中式を表示」から1つ選んでください。
倍数を書き出して最小公倍数を求める方法
それぞれの数の倍数を、同じ数がすべてのリストに現れるまで書き出します。18, 26 の場合：
それぞれの数の倍数を、どの行にも同じ倍数が現れるまで書き出します。すべての行に最初に現れる数が最小公倍数です。
234 は、すべての数に共通する最初の倍数です。
最小公倍数(18, 26) = 234
最小公倍数(18, 26) = 234。この方法でも求められますが、大きい数ではリストがとても長くなるので、下の方法を使ってください。
素因数分解で最小公倍数を求める方法
それぞれの数を素因数に分解し、現れる各素数の最大の指数をとって掛け合わせます。12, 15, 75 の場合：
それぞれの数を素因数に分解します。
- 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
- 15 = 3 × 5
- 75 = 3 × 5 × 5 = 3 × 5²
現れる各素数の最大の指数をとり、それらを掛け合わせます。
| 素数 | 最大の指数 | 出典 |
|---|---|---|
| 2 | 2² | 12 |
| 3 | 3 | 12, 15, 75 |
| 5 | 5² | 75 |
最小公倍数 = 2² × 3 × 5² = 300
最小公倍数(12, 15, 75) = 300
最大の指数：2² × 3 × 5² = 300。これが身につけるべき方法です：数の個数や大きさに関係なく使えます。
指数つきの素因数分解で最小公倍数を求める方法
12, 15, 75 のそれぞれを指数つきの素数の積で書き、素数を表に並べます。最小公倍数は、どの数に由来するかに関係なく各素数の最大の指数を取ります。
| 数 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|
| 12 | ✓ 22 | ✓ 31 | 50 |
| 15 | 20 | ✓ 31 | 51 |
| 75 | 20 | ✓ 31 | ✓ 52 |
| 最大の指数 | 22 | 31 | 52 |
最小公倍数 = 2² × 3 × 5² = 300
各列を見て最大の指数を残す、これが方法のすべてです。素因数分解がどんな個数・大きさの数にも使えるのはこのためです。
- ある数に含まれない素数の指数は 0 なので、最小公倍数を小さくすることはありません。
- 共通の列で最小の指数を残すと最大公約数になります。
- どの列にも 0 でない指数が 2 つなければ、数は互いに素で、最小公倍数はそれらの積です。
はしご算（ケーキ法）で最小公倍数を求める方法
数を1行に並べ、少なくとも2つを割り切る素数で割り、他の数はそのまま下ろします。共通する因数がなくなるまで繰り返します。左側の割る数と、いちばん下に残った数を掛け合わせます。12, 15, 75 の場合：3, 5 で割ると、いちばん下の行は 4, 1, 5 となり、最小公倍数 = 3 × 5 × 4 × 1 × 5 = 300。
数を1行に並べます。そのうち少なくとも2つを割り切る素数で割り、割り切れない数はそのまま下ろします。2つ以上の数を割り切る素数がなくなるまで繰り返します。
| 3 | 12 | 15 | 75 |
|---|---|---|---|
| 5 | 4 | 5 | 25 |
| 4 | 1 | 5 |
左側の割る数と、いちばん下の行に残った数を掛け合わせます：
最小公倍数 = 3 × 5 × 4 × 1 × 5 = 300
最小公倍数(12, 15, 75) = 300
割り算法で最小公倍数を求める方法
はしご法と似ていますが、どれか1つの数を割り切る最小の素数で割り、すべての数が 1 になるまで続けます。最小公倍数はすべての割る数の積です。素因数分解と同じ計算を表の形に並べたものです。
少なくとも1つの数を割り切る最小の素数で行を割り、残りは下ろします。すべての数が 1 になるまで続けます。最小公倍数は左側の割る数すべての積です。
| 2 | 12 | 15 | 75 |
|---|---|---|---|
| 2 | 6 | 15 | 75 |
| 3 | 3 | 15 | 75 |
| 5 | 1 | 5 | 25 |
| 5 | 1 | 1 | 5 |
| 1 | 1 | 1 |
最小公倍数 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 2² × 3 × 5² = 300
最小公倍数(12, 15, 75) = 300
最大公約数から最小公倍数を求める方法
2つの数では、LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b) です。数が多いときは順につなげます：最初の2つの最小公倍数を求め、次にその結果と次の数の最小公倍数を求めます。21, 14, 38 の場合：
2つの数では、LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b) です。 数が多いときは、最初の2つの最小公倍数を求め、次にその答えと次の数の最小公倍数を求める、という手順を繰り返します。
- 最大公約数(21, 14) = 7 なので、最小公倍数(21, 14) = 21 × 14 ÷ 7 = 294 ÷ 7 = 42
- 最大公約数(42, 38) = 2 なので、最小公倍数(42, 38) = 42 × 38 ÷ 2 = 1,596 ÷ 2 = 798
最小公倍数(21, 14, 38) = 798
最小公倍数(21, 14, 38) = 798。
最大公約数（GCD）は次と同じものです：
- 最大公約数（GCD）
- GCF、greatest common factor（英語の教材）
- HCF、highest common factor（イギリス・インド）
ベン図で最小公倍数を求める方法
それぞれの数の素因数を円の中に入れ、共通する因数は重なった部分に1回だけ書きます。図の中のすべての因数を掛けると最小公倍数になり、重なった部分だけを掛けると最大公約数になります。2つまたは3つの数に使え、最小公倍数 × 最大公約数 = a × b となる理由を目で確かめるのによい方法です。
それぞれの数の素因数をその円の中に入れます。2つ（または3つ）の数に共通する因数は円が重なる部分に1回だけ書きます。図の中のすべての因数を掛けると最小公倍数になり、重なった部分だけを掛けると最大公約数になります。
最小公倍数 = 2 × 2 × 5 × 5 × 3 = 300
最大公約数 = 3 （中央の領域） = 3
最小公倍数(12, 15, 75) = 300
どの方法を使えばよい？
基本は素因数分解を使います。数が小さいときは倍数の書き出しのほうが早く書けます。最大公約数がすでに分かっているときは最大公約数の公式を、授業で表の形が求められるときははしご法を使います。
| 方法 | 向いている場面 | 数の個数 | 最大公約数も分かる |
|---|---|---|---|
| 倍数の書き出し | 小さい数、はじめての授業 | 2 か 3 | いいえ |
| 素因数分解 | どんな数でも、方法を示すとき | 何個でも | はい（共通する素数の最小の指数） |
| はしご法 | はしご法を教える授業 | 2〜5 | はい（左の列） |
| 割り算法 | インドとイギリスの教育課程 | 何個でも | いいえ |
| 最大公約数の公式 | 最大公約数が分かっている2つの数 | 2（多いときは順につなげる） | 利用する |
| ベン図 | 最小公倍数 × 最大公約数 = a × b の理由を見る | 2 か 3 | はい（重なった部分） |
最小公倍数の公式
LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b)
3つ以上の数には単一の公式はありません。素因数分解を使うか、2つの数の公式を順につなげてください。
小数の最小公倍数の求め方
- すべてが整数になるまで各小数に 10、100、1000 を掛けます（すべて同じ 10 のべき乗を使います）。
- 上のいずれかの方法でその整数の最小公倍数を求めます。
- その最小公倍数を同じ 10 のべき乗で割ります。
0.6, 0.4 の場合：10 を掛けて 6, 4；最小公倍数 = 12；10 で割って → 1.2。
小数は整数になるまで 10、100、1,000 を掛け、最小公倍数を求めてから割り戻します：LCM(0.5, 2.5) → LCM(5, 25) = 25 → 2.5。分数の場合、分数の最小公倍数は分子の最小公倍数を分母の最大公約数で割ったものです。分数の足し算に使う数は 最小公分母計算機 で求める最小公分母です。どちらも 分数と小数の最小公倍数 で解き方を示しています。
最小公倍数の性質
これらの規則はすべての正の整数で成り立ちます。各カードで規則を示し、実際の数で確かめます。
最小公倍数は結合的
LCM(a, LCM(b, c)) = LCM(LCM(a, b), c)：3 つの数をどの順に組み合わせても最小公倍数は変わりません。
最小公倍数(4, 最小公倍数(6, 8)) = 最小公倍数(4, 24) = 24
最小公倍数(最小公倍数(4, 6), 8) = 最小公倍数(12, 8) = 24
最小公倍数は可換
LCM(a, b) = LCM(b, a)：数の順序は関係ありません。
最小公倍数(6, 8) = 24
最小公倍数(8, 6) = 24
最小公倍数は分配的
LCM(a, GCD(b, c)) = GCD(LCM(a, b), LCM(a, c))：最小公倍数は最大公約数に対して分配法則を満たします。
最小公倍数(4, 最大公約数(6, 10)) = 最小公倍数(4, 2) = 4
最大公約数(最小公倍数(4, 6), 最小公倍数(4, 10)) = 最大公約数(12, 20) = 4
最小公倍数は最大公約数（GCD）と関係がある
任意の 2 数について LCM(a, b) × GCD(a, b) = a × b なので、一方が分かれば他方も分かります。GCD(a, b) = 1 なら最小公倍数は a × b です。
最小公倍数(12, 18) × 最大公約数(12, 18) = 36 × 6 = 216
12 × 18 = 216
範囲の最小公倍数：1〜10 と 1〜20
LCM(1〜10) = 2,520 = 2³ × 3² × 5 × 7。LCM(1〜20) = 232,792,560 = 2⁴ × 3² × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19。
範囲の場合、上限までの各素数を、範囲に収まる最大の指数でとります：1〜10 なら 2³ = 8、3² = 9、5、7 です。計算機に最大 15 個の数を入力すれば、範囲や集合の最小公倍数が求められます。
1〜12 の最小公倍数表
| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 2 | 2 | 2 | 6 | 4 | 10 | 6 | 14 | 8 | 18 | 10 | 22 | 12 |
| 3 | 3 | 6 | 3 | 12 | 15 | 6 | 21 | 24 | 9 | 30 | 33 | 12 |
| 4 | 4 | 4 | 12 | 4 | 20 | 12 | 28 | 8 | 36 | 20 | 44 | 12 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 5 | 30 | 35 | 40 | 45 | 10 | 55 | 60 |
| 6 | 6 | 6 | 6 | 12 | 30 | 6 | 42 | 24 | 18 | 30 | 66 | 12 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 7 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 |
| 8 | 8 | 8 | 24 | 8 | 40 | 24 | 56 | 8 | 72 | 40 | 88 | 24 |
| 9 | 9 | 18 | 9 | 36 | 45 | 18 | 63 | 72 | 9 | 90 | 99 | 36 |
| 10 | 10 | 10 | 30 | 20 | 10 | 30 | 70 | 40 | 90 | 10 | 110 | 60 |
| 11 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 110 | 11 | 132 |
| 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 60 | 12 | 84 | 24 | 36 | 60 | 132 | 12 |
よくある間違い
- 最大ではなく最小の指数をとる。12 = 2² × 3、18 = 2 × 3²。最小公倍数は 2² と 3² を使います（36）。最小の指数をとると最大公約数になります（6）。
- すべての数を掛けてしまう。12 × 18 = 216 は公倍数ですが、最小ではありません。
- 割り算の表を途中でやめる。すべての数が 1 になるまで割り続けます。
- 最小公倍数と最大公約数を混同する。最大公約数が数より大きくなることはなく、最小公倍数が数より小さくなることはありません。
最小公倍数が使われる場面
- 分数の足し算：1/12 + 1/15 では最小公分母 60、つまり 12 と 15 の最小公倍数を使います。
- 繰り返す出来事：12 分おきと 15 分おきのバスは 60 分後に再び同時に出発します。歯数 12 と 18 の歯車は、36 枚の歯が通り過ぎると元の位置に戻ります。
- 時間割とタイル張り：6 × 8 の長方形で敷き詰められる最小の正方形の一辺は 24、つまり 6 と 8 の最小公倍数です。
最大公約数と最小公倍数をいっしょに
上の答えカードでは、毎回の計算で最小公倍数のとなりに最大公約数を表示しています。両者は同じ素因数から求められ、どの2つの数でも 最小公倍数 × 最大公約数 = a × b という関係で結ばれているからです：18, 26 では、234 × 2 = 468 = 18 × 26。
よくある質問
2つの素数の最小公倍数は？
その積です。素数どうしは共通する因数を持たないので、LCM(7, 11) = 77 です。最大公約数が 1 である2つの数でも同じで、たとえば 8 と 9 です（最小公倍数 = 72）。
最小公倍数は「lowest common multiple」や最小公分母と同じ？
lowest common multiple は同じものです（イギリスでの呼び方）。最小公分母（LCD）は、2つ以上の分数の分母の最小公倍数で、分数の足し算・引き算に使います：1/12 と 1/15 を足すには 60、つまり 12 と 15 の最小公倍数を使います。
最小の倍数とは？
1つの数の最小の倍数はその数自身です（6 の最小の倍数は 6）。ふつうこの言い方は、2つ以上の数の最小公倍数、つまりそれらすべてで割り切れる最小の数を指します。LCM(6, 8) = 24。
最小公倍数と最大公約数をいっしょに求めるには？
それぞれの数を素因数分解します。最小公倍数は各素数の最大の指数を、最大公約数は共通する素数の最小の指数をとります。12 と 18 では：最小公倍数 = 2² × 3² = 36、最大公約数 = 2 × 3 = 6、そして 36 × 6 = 216 = 12 × 18 です。
最小公倍数はどう順を追って計算する？
手順 1：それぞれの数を素数の積で表す。手順 2：現れる素数をすべて書き出す。手順 3：各素数について、どれかの数で現れる最大の指数をとる。手順 4：それらの累乗を掛け合わせる。12, 15, 75 では：12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5, 75 = 3 × 5²、最大の指数は 2² × 3 × 5²、最小公倍数 = 300。上で「素因数分解」を選ぶと、自分の数でこの4つの手順を見られます。
計算を共有したり保存したりできる？
はい。それぞれの計算には固有のリンクがあります。たとえば ?n=12,15,75&m=primes です。結果の下の「リンクをコピー」をクリックしてどこにでも貼り付けてください。開くと同じ数と途中式が表示されます。
この計算機を引用する
APA: Least Multiple Calculator. (2026). Least Multiple Calculator. 2026-11-02 に https://leastmultiplecalculator.com/ja/ から取得
<a href="https://leastmultiplecalculator.com/ja/">Least Multiple Calculator</a>参考文献
- Wikipedia、最小公倍数：定義、記法、関係式 LCM × GCD = a × b、応用。
- Wolfram MathWorld、Least Common Multiple：形式的な性質。
- Common Core State Standards、6.NS.B.4：6年生の最大公約数と最小公倍数。