最小公分母とは？
2 つ以上の分数の最小公分母とは、すべての分母で割り切れる最小の数です。1/4 と 1/6 の最小公分母は 12 です。これは分母の最小公倍数です。
分数は分母が同じときにだけ足し算、引き算、大小比較ができます。最小公分母はその中で最も小さいので、数が小さいままで済みます。最小公倍数全般の説明は 最小公倍数計算機 にあります。このページは分母について説明します。
最小公分母計算機の求め方：3 つの方法
1. 分母の倍数を書き出す
4 の倍数：4, 8, 12, 16。6 の倍数：6, 12, 18。最初の公倍数は 12 なので、1/4 と 1/6 の最小公分母は 12 です。
2. 素因数分解
4 = 2²、6 = 2 × 3。各素数を最も高い累乗でとります：2² × 3 = 12。分母が大きいときや分数が 3 つ以上のときはこの方法を使います。
3. 一方の分母が他方を割り切るか確かめる
1/3 と 1/9 では 9 が 3 の倍数なので、答えはそのまま 9 です。1/5 と 1/7 の分母には共通の因数がないので、答えは 5 × 7 = 35 です。
計算例：1/4 + 1/6
- 最小公分母 = 最小公倍数(4, 6) = 12。
- 1/4 = 3/12（分子と分母に 3 を掛ける）；1/6 = 2/12（2 を掛ける）。
- 3/12 + 2/12 = 5/12。
3 つの分数：1/2、1/3、1/4
公分母 = 最小公倍数(2, 3, 4) = 12。通分すると 6/12, 4/12, 3/12。和 = 13/12 = 1 1/12。
帯分数と小数
先に変換します。2 1/3 = 7/3、1 1/4 = 5/4 なので、公分母は 最小公倍数(3, 4) = 12、和は 43/12 = 3 7/12 です。0.5 のような小数は 5/10（約分すると 1/2）になります。計算機はどちらの形も受け付けます。
最小公分母、最小公倍数、最大公約数
| 用語 | 対象 | 用途 | 例 |
|---|---|---|---|
| 最小公分母 | 分数の分母 | 分数の足し算、引き算、比較 | 1/4 + 1/6 → 12 |
| 最小公倍数 | 整数 | 繰り返す出来事、公分母そのもの | 最小公倍数(4, 6) = 12 |
| 最大公約数 | 整数 | 約分、等しいグループ分け | 6/8 ÷ 2 = 3/4 |
分数そのものの最小公倍数（分子の最小公倍数 ÷ 分母の最大公約数）は別の問題です。
よく使う分母の表
| 分母 | 最小公分母 | 最大公約数 |
|---|---|---|
| 2 と 3 | 6 | 1 |
| 2 と 4 | 4 | 2 |
| 3 と 4 | 12 | 1 |
| 4 と 6 | 12 | 2 |
| 6 と 8 | 24 | 2 |
| 5 と 10 | 10 | 5 |
| 6 と 9 | 18 | 3 |
| 8 と 12 | 24 | 4 |
| 10 と 15 | 30 | 5 |
| 12 と 18 | 36 | 6 |
文字を含む最小公分母
各分母を因数分解し、異なる因数をそれぞれ最も高い累乗でとります。1/(x + 2) + 1/(x − 1) の公分母は (x + 2)(x − 1)、1/x² + 1/(xy) の公分母は x²y です。素因数分解と同じ規則です。
よくある質問
最小公分母とは？
2 つ以上の分数のすべての分母で割り切れる最小の数です。1/4 と 1/6 では 12 です。12 は 4 でも 6 でも割り切れる最初の数だからです。
2 つの分数の公分母はどう求めますか？
2 つの分母の最小公倍数を求めます。1/4 と 1/6 では 最小公倍数(4, 6) = 12。通分すると 1/4 = 3/12、1/6 = 2/12 です。
3 つの分数ではどう求めますか？
3 つの分母の最小公倍数を求めます。1/2、1/3、1/4 では 最小公倍数(2, 3, 4) = 12 で、6/12, 4/12, 3/12 になります。
最小公分母と最小公倍数は同じですか？
はい、分母の最小公倍数という意味で同じです。最小公倍数は整数の性質で、ここではその数を共通の分母として使います。
最大公約数とどう違いますか？
公分母は分母の異なる分数の足し算や引き算に使います。最大公約数は約分に使います。
文字を含むときはどう求めますか？
各分母を因数分解し、各因数を最も高い累乗でとります。1/(x + 2) と 1/(x − 1) では (x + 2)(x − 1)、1/x² と 1/(xy) では x²y です。
分数の掛け算に必要ですか？
いいえ。分数の掛け算と割り算に公分母は要りません。必要なのは足し算、引き算、比較のときだけです。
どんな公分母を使ってもよいですか？
はい。分母の公倍数なら何でも使えます。たとえば 1/4 と 1/6 なら 4 × 6 = 24 です。最小のものを使うと数が小さく、最後の約分も減ります。
出典
- Wikipedia: Lowest common denominator: 定義（英語）
- Wolfram MathWorld: Least Common Multiple: 最小公倍数の性質（英語）