Was ist der kleinste gemeinsame Nenner?
Der kleinste gemeinsame Nenner (Hauptnenner) von zwei oder mehr Brüchen ist die kleinste Zahl, durch die sich alle Nenner teilen lassen. Für 1/4 und 1/6 ist das 12. Er ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner.
Brüche lassen sich nur addieren, subtrahieren oder vergleichen, wenn sie denselben Nenner haben. Der kleinste gemeinsame Nenner ist der kleinste davon, so bleiben die Zahlen klein. Das kgV allgemein erklärt kgV-Rechner: kleinstes gemeinsames Vielfaches; diese Seite behandelt die Nenner.
So findet der kleinster gemeinsamer Nenner Rechner das Ergebnis: drei Methoden
1. Vielfache der Nenner auflisten
Vielfache von 4: 4, 8, 12, 16. Vielfache von 6: 6, 12, 18. Das erste gemeinsame Vielfache ist 12, also ist der kleinste gemeinsame Nenner von 1/4 und 1/6 gleich 12.
2. Primfaktorzerlegung
4 = 2² und 6 = 2 × 3. Nimm jede Primzahl in ihrer höchsten Potenz: 2² × 3 = 12. Das ist die Methode für große Nenner oder mehr als zwei Brüche.
3. Prüfen, ob ein Nenner den anderen teilt
Bei 1/3 und 1/9 ist 9 ein Vielfaches von 3, das Ergebnis ist also ohne weitere Arbeit 9. Bei 1/5 und 1/7 haben die Nenner keinen gemeinsamen Teiler, also ist es 5 × 7 = 35.
Rechenbeispiel: 1/4 und 1/6 addieren
- Kleinster gemeinsamer Nenner = kgV(4, 6) = 12.
- 1/4 = 3/12 (oben und unten mit 3 multiplizieren); 1/6 = 2/12 (mit 2 multiplizieren).
- 3/12 + 2/12 = 5/12.
Drei Brüche: 1/2, 1/3 und 1/4
Hauptnenner = kgV(2, 3, 4) = 12. Erweitert: 6/12, 4/12, 3/12. Summe = 13/12 = 1 1/12.
Gemischte Zahlen und Dezimalzahlen
Zuerst umwandeln. 2 1/3 = 7/3 und 1 1/4 = 5/4, also ist der Hauptnenner kgV(3, 4) = 12 und die Summe 43/12 = 3 7/12. Eine Dezimalzahl wie 0.5 wird zu 5/10 (gekürzt 1/2); der Rechner nimmt beide Formen.
Kleinster gemeinsamer Nenner, kgV und ggT
| Begriff | Gilt für | Wofür | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Kleinster gemeinsamer Nenner | Nenner von Brüchen | Brüche addieren, subtrahieren, vergleichen | 1/4 + 1/6 → 12 |
| kgV | ganze Zahlen | wiederkehrende Ereignisse; der Hauptnenner selbst | kgV(4, 6) = 12 |
| ggT | ganze Zahlen | einen Bruch kürzen, gleiche Gruppen | 6/8 ÷ 2 = 3/4 |
Das kgV der Brüche selbst (kgV der Zähler ÷ ggT der Nenner) ist eine andere Aufgabe.
Tabelle gängiger Nenner
| Nenner | Hauptnenner | ggT |
|---|---|---|
| 2 und 3 | 6 | 1 |
| 2 und 4 | 4 | 2 |
| 3 und 4 | 12 | 1 |
| 4 und 6 | 12 | 2 |
| 6 und 8 | 24 | 2 |
| 5 und 10 | 10 | 5 |
| 6 und 9 | 18 | 3 |
| 8 und 12 | 24 | 4 |
| 10 und 15 | 30 | 5 |
| 12 und 18 | 36 | 6 |
Kleinster gemeinsamer Nenner mit Variablen
Zerlege jeden Nenner in Faktoren und nimm jeden verschiedenen Faktor in seiner höchsten Potenz. 1/(x + 2) + 1/(x − 1) hat den Hauptnenner (x + 2)(x − 1); 1/x² + 1/(xy) hat x²y. Das ist die Regel der Primfaktoren, mit Faktoren statt Primzahlen.
Häufige Fragen
Was ist der kleinste gemeinsame Nenner?
Die kleinste Zahl, durch die sich alle Nenner von zwei oder mehr Brüchen teilen lassen. Für 1/4 und 1/6 ist es 12, denn 12 ist die erste Zahl, die durch 4 und 6 teilbar ist.
Wie finde ich den Hauptnenner von zwei Brüchen?
Bestimme das kgV der beiden Nenner. Für 1/4 und 1/6: kgV(4, 6) = 12. Erweitere jeden Bruch: 1/4 = 3/12 und 1/6 = 2/12.
Wie finde ich ihn bei drei Brüchen?
Bestimme das kgV aller drei Nenner. Für 1/2, 1/3 und 1/4: kgV(2, 3, 4) = 12, das ergibt 6/12, 4/12, 3/12.
Ist der Hauptnenner dasselbe wie das kgV?
Ja, denn er ist das kgV der Nenner. Das kgV gehört zu ganzen Zahlen; hier dient dieselbe Zahl als gemeinsamer Nenner.
Was ist der Unterschied zum ggT?
Den gemeinsamen Nenner braucht man zum Addieren oder Subtrahieren von Brüchen mit verschiedenen Nennern. Der ggT (größter gemeinsamer Teiler) dient zum Kürzen eines Bruchs.
Wie finde ich ihn mit Variablen?
Zerlege jeden Nenner in Faktoren und nimm jeden Faktor in seiner höchsten Potenz. Für 1/(x + 2) und 1/(x − 1) ist es (x + 2)(x − 1); für 1/x² und 1/(xy) ist es x²y.
Brauche ich ihn zum Multiplizieren von Brüchen?
Nein. Beim Multiplizieren und Dividieren von Brüchen braucht man nie einen gemeinsamen Nenner, nur beim Addieren, Subtrahieren und Vergleichen.
Kann ich jeden gemeinsamen Nenner verwenden?
Ja. Jedes gemeinsame Vielfache der Nenner geht, zum Beispiel 4 × 6 = 24 für 1/4 und 1/6. Der kleinste hält die Zahlen klein und spart das Kürzen am Ende.
Quellen
- Wikipedia: Lowest common denominator: Definition (auf Englisch)
- Wolfram MathWorld: Least Common Multiple: Eigenschaften des kgV (auf Englisch)