Qu’est-ce que le plus petit commun multiple ?
Le plus petit commun multiple (PPCM, LCM) de deux nombres entiers ou plus est le plus petit nombre positif divisible exactement par chacun d’eux. PPCM(12, 15, 75) = 300. Utilisez le calculateur de plus petit commun multiple ci-dessus pour l’obtenir avec vos propres nombres.
On l’appelle aussi plus petit multiple commun et, lorsque les nombres sont les dénominateurs de fractions, plus petit dénominateur commun. Il sert à additionner ou soustraire des fractions, à faire coïncider des événements périodiques (deux bus toutes les 12 et 15 minutes se retrouvent au bout de 60) et en algèbre et en arithmétique.
La notion voisine est le plus grand commun diviseur (PGCD, en anglais GCF, GCD ou HCF) : le plus grand nombre qui divise chacun d’eux. Pour deux nombres, les deux sont liés par PPCM × PGCD = a × b.
Comment trouver le PPCM avec le calculateur de plus petit commun multiple : six méthodes
Le calculateur montre chacune d’elles pour vos propres nombres. Choisissez-en une sous « Montrer le calcul ».
Comment trouver le PPCM en listant les multiples
Écrivez les multiples de chaque nombre jusqu’à ce que le même apparaisse dans toutes les listes. Pour 18, 26 :
Écrivez les multiples de chaque nombre jusqu’à ce qu’un multiple apparaisse dans toutes les lignes. Le premier nombre présent dans toutes les lignes est le plus petit commun multiple.
234 est le premier multiple commun à tous les nombres.
PPCM(18, 26) = 234
PPCM(18, 26) = 234. Cela fonctionne, mais pour de grands nombres les listes deviennent très longues ; utilisez alors l’une des méthodes ci-dessous.
Comment trouver le PPCM par décomposition en facteurs premiers
Décomposez chaque nombre en facteurs premiers, prenez la plus grande puissance de chaque nombre premier qui apparaît et multipliez. Pour 12, 15, 75 :
Décomposez chaque nombre en facteurs premiers.
- 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
- 15 = 3 × 5
- 75 = 3 × 5 × 5 = 3 × 5²
Prenez la plus grande puissance de chaque nombre premier qui apparaît, puis multipliez-les.
| Premier | Plus grande puissance | Issu de |
|---|---|---|
| 2 | 2² | 12 |
| 3 | 3 | 12, 15, 75 |
| 5 | 5² | 75 |
PPCM = 2² × 3 × 5² = 300
PPCM(12, 15, 75) = 300
Plus grandes puissances : 2² × 3 × 5² = 300. C’est la méthode à apprendre : elle marche pour n’importe quelle quantité de nombres et n’importe quelle taille.
Comment trouver le PPCM par facteurs premiers avec des exposants
Écris chacun de 12, 15, 75 comme produit de nombres premiers avec exposants, puis aligne les premiers dans une grille. Le PPCM prend le plus grand exposant de chaque premier, quel que soit le nombre d’où il vient.
| Nombre | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|
| 12 | ✓ 22 | ✓ 31 | 50 |
| 15 | 20 | ✓ 31 | 51 |
| 75 | 20 | ✓ 31 | ✓ 52 |
| Plus grand exposant | 22 | 31 | 52 |
PPCM = 2² × 3 × 5² = 300
Lire chaque colonne et garder le plus grand exposant, c’est toute la méthode ; c’est pourquoi la décomposition en facteurs premiers marche pour n’importe quel nombre de valeurs, de n’importe quelle taille.
- Un premier absent d’un nombre a l’exposant 0 : il ne diminue jamais le PPCM.
- Garder le plus petit exposant de chaque colonne partagée donne le PGCD.
- Si aucune colonne n’a deux exposants non nuls, les nombres sont premiers entre eux et le PPCM est leur produit.
Comment trouver le PPCM avec la méthode de l’échelle (méthode du gâteau)
Écrivez les nombres sur une ligne et divisez par un nombre premier qui divise au moins deux d’entre eux, en descendant les autres. Répétez jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de facteur commun. Multipliez les diviseurs de gauche par les nombres restants en bas. Pour 12, 15, 75 : divisez par 3, 5 ; la dernière ligne est 4, 1, 5 ; PPCM = 3 × 5 × 4 × 1 × 5 = 300.
Écrivez les nombres sur une ligne. Divisez par un nombre premier qui divise au moins deux d’entre eux ; ceux qu’il ne divise pas descendent tels quels. Répétez jusqu’à ce qu’aucun nombre premier ne divise deux nombres ou plus.
| 3 | 12 | 15 | 75 |
|---|---|---|---|
| 5 | 4 | 5 | 25 |
| 4 | 1 | 5 |
Multipliez les diviseurs de gauche par les nombres restants sur la dernière ligne :
PPCM = 3 × 5 × 4 × 1 × 5 = 300
PPCM(12, 15, 75) = 300
Comment trouver le PPCM avec la méthode de division
Comme la méthode de l’échelle, mais on divise par le plus petit nombre premier qui divise n’importe quel nombre et on continue jusqu’à ce que tous valent 1. Le PPCM est le produit de tous les diviseurs. C’est le même calcul que la décomposition en facteurs premiers, présenté sous forme de tableau.
Divisez la ligne par le plus petit nombre premier qui divise au moins un nombre ; descendez les autres. Continuez jusqu’à ce que tous les nombres valent 1. Le PPCM est le produit de tous les diviseurs de gauche.
| 2 | 12 | 15 | 75 |
|---|---|---|---|
| 2 | 6 | 15 | 75 |
| 3 | 3 | 15 | 75 |
| 5 | 1 | 5 | 25 |
| 5 | 1 | 1 | 5 |
| 1 | 1 | 1 |
PPCM = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 2² × 3 × 5² = 300
PPCM(12, 15, 75) = 300
Comment trouver le PPCM à partir du PGCD
Pour deux nombres, PPCM(a, b) = a × b ÷ PGCD(a, b). Pour plus de nombres, enchaînez : PPCM des deux premiers, puis PPCM de ce résultat et du suivant. Pour 21, 14, 38 :
Pour deux nombres, PPCM(a, b) = a × b ÷ PGCD(a, b). Avec plus de nombres, trouvez le PPCM des deux premiers, puis le PPCM de ce résultat et du nombre suivant, et ainsi de suite.
- PGCD(21, 14) = 7, donc PPCM(21, 14) = 21 × 14 ÷ 7 = 294 ÷ 7 = 42
- PGCD(42, 38) = 2, donc PPCM(42, 38) = 42 × 38 ÷ 2 = 1 596 ÷ 2 = 798
PPCM(21, 14, 38) = 798
PPCM(21, 14, 38) = 798.
Le plus grand commun diviseur (PGCD) s’appelle aussi :
- PGCD, plus grand commun diviseur
- GCF, greatest common factor (textes en anglais)
- HCF, highest common factor (Royaume-Uni et Inde)
Comment trouver le PPCM avec des diagrammes de Venn
Placez les facteurs premiers de chaque nombre dans un cercle, les facteurs communs dans l’intersection écrits une seule fois. Multiplier tous les facteurs du diagramme donne le PPCM ; l’intersection seule donne le PGCD. Cela marche pour deux ou trois nombres et permet de bien voir pourquoi PPCM × PGCD = a × b.
Placez les facteurs premiers de chaque nombre dans son cercle. Les facteurs communs à deux (ou trois) nombres vont dans l’intersection, écrits une seule fois. Multipliez tous les facteurs du diagramme pour obtenir le PPCM ; l’intersection seule donne le PGCD.
PPCM = 2 × 2 × 5 × 5 × 3 = 300
PGCD = 3 (la région centrale) = 3
PPCM(12, 15, 75) = 300
Quelle méthode utiliser ?
Utilisez la décomposition en facteurs premiers, sauf si les nombres sont petits, auquel cas la liste des multiples est plus rapide à écrire. Utilisez la formule du PGCD quand vous connaissez déjà le PGCD, et l’échelle quand votre classe attend un tableau.
| Méthode | Idéale pour | Nombres | Donne aussi le PGCD |
|---|---|---|---|
| Liste des multiples | Petits nombres, premières leçons | 2 ou 3 | Non |
| Facteurs premiers | Tous les nombres, montrer la méthode | Tous | Oui (premiers communs, plus petite puissance) |
| Échelle | Classes qui enseignent l’échelle | 2 à 5 | Oui (la colonne de gauche) |
| Méthode de division | Programmes indien et britannique | Tous | Non |
| Formule du PGCD | Deux nombres dont on connaît le PGCD | 2 (enchaînée au-delà) | L’utilise |
| Diagramme de Venn | Voir pourquoi PPCM × PGCD = a × b | 2 ou 3 | Oui (l’intersection) |
Formule du PPCM
PPCM(a, b) = a × b ÷ PGCD(a, b)
Pour plus de deux nombres, il n’y a pas de formule unique ; utilisez la décomposition en facteurs premiers ou enchaînez la formule à deux nombres.
Comment trouver le PPCM de nombres décimaux
- Multiplie chaque décimal par 10, 100 ou 1 000 jusqu’à obtenir des entiers, avec la même puissance de 10 pour tous.
- Trouve le PPCM de ces entiers avec l’une des méthodes ci-dessus.
- Divise ce PPCM par la même puissance de 10.
Pour 0.6, 0.4 : multiplie par 10 pour obtenir 6, 4 ; PPCM = 12 ; divise par 10 → 1.2.
Multipliez les décimaux par 10, 100 ou 1 000 jusqu’à obtenir des entiers, trouvez le PPCM, puis divisez en retour : PPCM(0.5, 2.5) → PPCM(5, 25) = 25 → 2.5. Pour les fractions, le PPCM de fractions est le PPCM des numérateurs sur le PGCD des dénominateurs, et le nombre utilisé pour additionner des fractions est le plus petit dénominateur commun du Calculateur de plus petit dénominateur commun. Les deux sont détaillés sur PPCM de fractions et de décimaux.
Propriétés du PPCM
Ces règles valent pour tout entier positif. Chaque carte énonce la règle et la vérifie avec de vrais nombres.
Le PPCM est associatif
PPCM(a, PPCM(b, c)) = PPCM(PPCM(a, b), c) : on peut grouper trois nombres dans n’importe quel ordre, le PPCM ne change pas.
PPCM(4, PPCM(6, 8)) = PPCM(4, 24) = 24
PPCM(PPCM(4, 6), 8) = PPCM(12, 8) = 24
Le PPCM est commutatif
PPCM(a, b) = PPCM(b, a) : l’ordre des nombres n’a pas d’importance.
PPCM(6, 8) = 24
PPCM(8, 6) = 24
Le PPCM est distributif
PPCM(a, PGCD(b, c)) = PGCD(PPCM(a, b), PPCM(a, c)) : le PPCM se distribue sur le plus grand commun diviseur.
PPCM(4, PGCD(6, 10)) = PPCM(4, 2) = 4
PGCD(PPCM(4, 6), PPCM(4, 10)) = PGCD(12, 20) = 4
Le PPCM est lié au plus grand commun diviseur (PGCD)
PPCM(a, b) × PGCD(a, b) = a × b pour deux nombres quelconques : connaître l’un donne l’autre. Si PGCD(a, b) = 1, le PPCM vaut simplement a × b.
PPCM(12, 18) × PGCD(12, 18) = 36 × 6 = 216
12 × 18 = 216
PPCM d’un intervalle : de 1 à 10 et de 1 à 20
PPCM(1 à 10) = 2 520 = 2³ × 3² × 5 × 7. PPCM(1 à 20) = 232 792 560 = 2⁴ × 3² × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19.
Pour un intervalle, prenez chaque nombre premier jusqu’au plus grand nombre, à la plus grande puissance qui tient encore dans l’intervalle : pour 1 à 10, 2³ = 8, 3² = 9, 5 et 7. Saisissez n’importe quelle liste de 15 nombres au plus dans le calculateur pour obtenir le PPCM d’un intervalle ou d’un ensemble.
Table des PPCM de 1 à 12
| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 2 | 2 | 2 | 6 | 4 | 10 | 6 | 14 | 8 | 18 | 10 | 22 | 12 |
| 3 | 3 | 6 | 3 | 12 | 15 | 6 | 21 | 24 | 9 | 30 | 33 | 12 |
| 4 | 4 | 4 | 12 | 4 | 20 | 12 | 28 | 8 | 36 | 20 | 44 | 12 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 5 | 30 | 35 | 40 | 45 | 10 | 55 | 60 |
| 6 | 6 | 6 | 6 | 12 | 30 | 6 | 42 | 24 | 18 | 30 | 66 | 12 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 7 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 |
| 8 | 8 | 8 | 24 | 8 | 40 | 24 | 56 | 8 | 72 | 40 | 88 | 24 |
| 9 | 9 | 18 | 9 | 36 | 45 | 18 | 63 | 72 | 9 | 90 | 99 | 36 |
| 10 | 10 | 10 | 30 | 20 | 10 | 30 | 70 | 40 | 90 | 10 | 110 | 60 |
| 11 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 110 | 11 | 132 |
| 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 60 | 12 | 84 | 24 | 36 | 60 | 132 | 12 |
Erreurs fréquentes
- Plus petite puissance au lieu de la plus grande. 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3². Le PPCM utilise 2² et 3² (36). Les plus petites puissances donnent le PGCD (6).
- Multiplier tous les nombres. 12 × 18 = 216 est un multiple commun, mais pas le plus petit.
- Arrêter le tableau de division trop tôt. Continuez à diviser jusqu’à ce que toutes les cases valent 1.
- Confondre PPCM et PGCD. Le PGCD n’est jamais plus grand que les nombres ; le PPCM n’est jamais plus petit.
Où le PPCM est utilisé
- Additionner des fractions : 1/12 + 1/15 utilise le dénominateur commun 60, le PPCM de 12 et 15.
- Événements périodiques : des bus toutes les 12 et 15 minutes repartent ensemble après 60 minutes ; deux engrenages de 12 et 18 dents se réalignent après le passage de 36 dents.
- Horaires et pavages : le plus petit carré pavé par des rectangles de 6 × 8 a pour côté 24, le PPCM de 6 et 8.
PGCD et PPCM ensemble
La carte de résultat ci-dessus affiche le plus grand commun diviseur à côté du PPCM pour chaque calcul, car les deux se déduisent des mêmes facteurs premiers et sont liés par PPCM × PGCD = a × b pour deux nombres quelconques : pour 18, 26, 234 × 2 = 468 = 18 × 26.
Questions fréquentes
Quel est le PPCM de deux nombres premiers ?
Leur produit. Les nombres premiers n’ont aucun facteur commun, donc PPCM(7, 11) = 77. Il en va de même pour deux nombres quelconques dont le PGCD vaut 1, comme 8 et 9 (PPCM = 72).
Le PPCM est-il la même chose que le plus petit multiple commun ou le plus petit dénominateur commun ?
Plus petit multiple commun désigne la même chose (le terme britannique). Le plus petit dénominateur commun est le PPCM des dénominateurs de deux fractions ou plus, utilisé pour les additionner ou les soustraire : pour additionner 1/12 et 1/15, on utilise 60, le PPCM de 12 et 15.
Qu’est-ce que le plus petit multiple ?
Le plus petit multiple d’un seul nombre est le nombre lui-même (le plus petit multiple de 6 est 6). L’expression désigne généralement le plus petit commun multiple de deux nombres ou plus : le plus petit nombre divisible par chacun d’eux. PPCM(6, 8) = 24.
Comment calculer le PPCM et le PGCD ensemble ?
Décomposez chaque nombre en facteurs premiers. Le PPCM prend chaque nombre premier à sa plus grande puissance ; le PGCD prend les nombres premiers communs à leur plus petite puissance. Pour 12 et 18 : PPCM = 2² × 3² = 36, PGCD = 2 × 3 = 6, et 36 × 6 = 216 = 12 × 18.
Comment calcule-t-on le PPCM étape par étape ?
Étape 1 : écrivez chaque nombre comme produit de facteurs premiers. Étape 2 : listez chaque nombre premier qui apparaît. Étape 3 : prenez chaque nombre premier à la plus grande puissance qu’il atteint dans l’un des nombres. Étape 4 : multipliez ces puissances. Pour 12, 15, 75 : 12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5, 75 = 3 × 5² ; plus grandes puissances 2² × 3 × 5² ; PPCM = 300. Choisissez « Facteurs premiers » ci-dessus pour voir ces quatre étapes avec vos nombres.
Peut-on partager ou enregistrer un calcul ?
Oui. Chaque calcul a son propre lien, par exemple ?n=12,15,75&m=primes. Cliquez sur « Copier le lien » sous le résultat et collez-le où vous voulez ; en l’ouvrant, on retrouve les mêmes nombres et le même calcul.
Citer ce calculateur
APA : Least Multiple Calculator. (2026). Least Multiple Calculator. Consulté le 2026-11-02, sur https://leastmultiplecalculator.com/fr/
<a href="https://leastmultiplecalculator.com/fr/">Least Multiple Calculator</a>Références
- Wikipédia, Plus petit commun multiple : définition, notation, la relation PPCM × PGCD = a × b, applications.
- Wolfram MathWorld, Least Common Multiple : propriétés formelles.
- Common Core State Standards, 6.NS.B.4 : PGCD et PPCM en sixième année.