Apa itu kelipatan persekutuan terkecil?
Kelipatan persekutuan terkecil (KPK, LCM) dari dua bilangan bulat atau lebih adalah bilangan positif terkecil yang habis dibagi oleh semua bilangan itu. KPK(12, 15, 75) = 300. Gunakan kalkulator KPK di atas untuk bilangan Anda sendiri.
Jika bilangannya adalah penyebut pecahan, KPK disebut juga penyebut persekutuan terkecil. KPK diperlukan untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan, menyamakan kejadian berulang (dua bus setiap 12 dan 15 menit bertemu lagi setelah 60), serta dalam aljabar dan teori bilangan.
Konsep yang berkaitan adalah faktor persekutuan terbesar (FPB, GCF, GCD, atau HCF): bilangan terbesar yang membagi habis semua bilangan itu. Untuk dua bilangan, keduanya terhubung oleh LCM × GCF = a × b.
Cara mencari KPK dengan kalkulator KPK: enam metode
Kalkulator menampilkan setiap metode ini untuk bilangan Anda sendiri. Pilih salah satu di bawah "Tampilkan cara".
Cara mencari KPK dengan mendaftar kelipatan
Tuliskan kelipatan setiap bilangan sampai kelipatan yang sama muncul di setiap daftar. Untuk 18, 26:
Tuliskan kelipatan setiap bilangan sampai ada satu kelipatan yang muncul di setiap baris. Bilangan pertama yang muncul di semua baris adalah kelipatan persekutuan terkecil.
234 adalah kelipatan pertama yang dimiliki bersama oleh semua bilangan.
KPK(18, 26) = 234
KPK(18, 26) = 234. Cara ini berhasil, tetapi untuk bilangan besar daftarnya menjadi sangat panjang, jadi gunakan salah satu metode di bawah.
Cara mencari KPK dengan faktorisasi prima
Uraikan setiap bilangan menjadi faktor prima, ambil pangkat tertinggi setiap prima yang muncul, lalu kalikan. Untuk 12, 15, 75:
Uraikan setiap bilangan menjadi faktor prima.
- 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
- 15 = 3 × 5
- 75 = 3 × 5 × 5 = 3 × 5²
Ambil pangkat tertinggi dari setiap bilangan prima yang muncul, lalu kalikan semuanya.
| Prima | Pangkat tertinggi | Dari |
|---|---|---|
| 2 | 2² | 12 |
| 3 | 3 | 12, 15, 75 |
| 5 | 5² | 75 |
KPK = 2² × 3 × 5² = 300
KPK(12, 15, 75) = 300
Pangkat tertinggi: 2² × 3 × 5² = 300. Inilah metode yang perlu dipelajari: berlaku untuk berapa pun banyaknya bilangan dan berapa pun besarnya.
Cara mencari KPK dengan faktorisasi prima memakai pangkat
Tulis setiap bilangan 12, 15, 75 sebagai hasil kali bilangan prima berpangkat, lalu sejajarkan bilangan primanya dalam tabel. KPK mengambil pangkat tertinggi setiap prima, dari bilangan mana pun asalnya.
| Bilangan | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|
| 12 | ✓ 22 | ✓ 31 | 50 |
| 15 | 20 | ✓ 31 | 51 |
| 75 | 20 | ✓ 31 | ✓ 52 |
| Pangkat tertinggi | 22 | 31 | 52 |
KPK = 2² × 3 × 5² = 300
Membaca setiap kolom dan menyimpan pangkat terbesar adalah seluruh metodenya; itulah sebabnya faktorisasi prima berlaku untuk berapa pun bilangan dengan ukuran apa pun.
- Prima yang tidak ada dalam suatu bilangan berpangkat 0, jadi tidak pernah mengurangi KPK.
- Menyimpan pangkat terendah di setiap kolom bersama menghasilkan FPB.
- Jika tidak ada kolom dengan dua pangkat bukan nol, bilangan-bilangan itu koprima dan KPK-nya adalah hasil kalinya.
Cara mencari KPK dengan metode tangga (metode kue)
Tulis bilangan dalam satu baris dan bagi dengan bilangan prima yang membagi habis paling sedikit dua di antaranya, turunkan yang lain. Ulangi sampai tidak ada faktor bersama. Kalikan pembagi di kiri dengan bilangan yang tersisa di bawah. Untuk 12, 15, 75: bagi dengan 3, 5; baris bawahnya 4, 1, 5; KPK = 3 × 5 × 4 × 1 × 5 = 300.
Tulis bilangan dalam satu baris. Bagi dengan bilangan prima yang membagi habis paling sedikit dua di antaranya; bilangan yang tidak habis dibagi diturunkan apa adanya. Ulangi sampai tidak ada prima yang membagi dua bilangan atau lebih.
| 3 | 12 | 15 | 75 |
|---|---|---|---|
| 5 | 4 | 5 | 25 |
| 4 | 1 | 5 |
Kalikan pembagi di sebelah kiri dengan bilangan yang tersisa di baris bawah:
KPK = 3 × 5 × 4 × 1 × 5 = 300
KPK(12, 15, 75) = 300
Cara mencari KPK dengan metode pembagian
Seperti metode tangga, tetapi Anda membagi dengan bilangan prima terkecil yang membagi habis bilangan mana pun dan melanjutkan sampai semua bilangan menjadi 1. KPK adalah hasil kali semua pembagi. Hitungannya sama dengan faktorisasi prima, hanya disusun sebagai tabel.
Bagi baris dengan bilangan prima terkecil yang membagi habis paling sedikit satu bilangan; turunkan sisanya. Lanjutkan sampai semua bilangan menjadi 1. KPK adalah hasil kali semua pembagi di sebelah kiri.
| 2 | 12 | 15 | 75 |
|---|---|---|---|
| 2 | 6 | 15 | 75 |
| 3 | 3 | 15 | 75 |
| 5 | 1 | 5 | 25 |
| 5 | 1 | 1 | 5 |
| 1 | 1 | 1 |
KPK = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 2² × 3 × 5² = 300
KPK(12, 15, 75) = 300
Cara mencari KPK dari FPB
Untuk dua bilangan, LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b). Untuk lebih banyak bilangan, lakukan berantai: KPK dua bilangan pertama, lalu KPK hasil itu dengan bilangan berikutnya. Untuk 21, 14, 38:
Untuk dua bilangan, LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b). Jika bilangannya lebih banyak, cari KPK dua bilangan pertama, lalu KPK hasil itu dengan bilangan berikutnya, dan seterusnya.
- FPB(21, 14) = 7, jadi KPK(21, 14) = 21 × 14 ÷ 7 = 294 ÷ 7 = 42
- FPB(42, 38) = 2, jadi KPK(42, 38) = 42 × 38 ÷ 2 = 1.596 ÷ 2 = 798
KPK(21, 14, 38) = 798
KPK(21, 14, 38) = 798.
Faktor persekutuan terbesar (FPB) sama dengan:
- FPB, faktor persekutuan terbesar
- GCF, greatest common factor (teks berbahasa Inggris)
- HCF, highest common factor (Inggris dan India)
Cara mencari KPK dengan diagram Venn
Letakkan faktor prima setiap bilangan di sebuah lingkaran, dengan faktor bersama ditulis satu kali di irisan. Hasil kali semua faktor dalam diagram memberikan KPK; irisannya saja memberikan FPB. Berlaku untuk dua atau tiga bilangan dan cara yang baik untuk melihat mengapa LCM × GCF = a × b.
Letakkan faktor prima setiap bilangan di lingkarannya. Faktor yang dimiliki bersama oleh dua (atau tiga) bilangan ditulis satu kali di daerah irisan lingkaran. Kalikan semua faktor dalam diagram untuk mendapatkan KPK; irisannya saja memberikan FPB.
KPK = 2 × 2 × 5 × 5 × 3 = 300
FPB = 3 (daerah tengah) = 3
KPK(12, 15, 75) = 300
Metode mana yang sebaiknya saya pakai?
Gunakan faktorisasi prima, kecuali bilangannya kecil; dalam hal itu mendaftar kelipatan lebih cepat ditulis. Gunakan rumus FPB jika FPB-nya sudah diketahui, dan metode tangga jika kelas Anda mengharapkan tabel.
| Metode | Paling cocok untuk | Bilangan | Menampilkan FPB juga |
|---|---|---|---|
| Mendaftar kelipatan | Bilangan kecil, pelajaran awal | 2 atau 3 | Tidak |
| Faktorisasi prima | Bilangan apa pun, menunjukkan cara | Berapa pun | Ya (prima bersama, pangkat terendah) |
| Metode tangga | Kelas yang mengajarkan tangga | 2 sampai 5 | Ya (kolom kiri) |
| Metode pembagian | Kurikulum India dan Inggris | Berapa pun | Tidak |
| Rumus FPB | Dua bilangan saat FPB diketahui | 2 (berantai untuk lebih) | Menggunakannya |
| Diagram Venn | Melihat mengapa LCM × GCF = a × b | 2 atau 3 | Ya (irisan) |
Rumus KPK
LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b)
Untuk lebih dari dua bilangan tidak ada rumus tunggal; gunakan faktorisasi prima atau rumus dua bilangan secara berantai.
Cara mencari KPK bilangan desimal
- Kalikan setiap desimal dengan 10, 100, atau 1.000 sampai semuanya bulat, dengan pangkat 10 yang sama untuk semua.
- Cari KPK bilangan bulat itu dengan salah satu metode di atas.
- Bagi KPK itu dengan pangkat 10 yang sama.
Untuk 0.6, 0.4: kalikan 10 menjadi 6, 4; KPK = 12; bagi 10 → 1.2.
Kalikan desimal dengan 10, 100, atau 1.000 sampai menjadi bilangan bulat, cari KPK-nya, lalu bagi kembali: LCM(0.5, 2.5) → LCM(5, 25) = 25 → 2.5. Untuk pecahan, KPK pecahan adalah KPK pembilang dibagi FPB penyebut, dan bilangan yang dipakai untuk menjumlahkan pecahan adalah penyebut terkecil dari Kalkulator Penyebut Persekutuan Terkecil. Keduanya dikerjakan di KPK pecahan dan desimal.
Sifat-sifat KPK
Aturan ini berlaku untuk semua bilangan bulat positif. Setiap kartu menyatakan aturannya dan mengujinya dengan bilangan nyata.
KPK bersifat asosiatif
KPK(a, KPK(b, c)) = KPK(KPK(a, b), c): kelompokkan tiga bilangan dalam urutan apa pun, KPK-nya tidak berubah.
KPK(4, KPK(6, 8)) = KPK(4, 24) = 24
KPK(KPK(4, 6), 8) = KPK(12, 8) = 24
KPK bersifat komutatif
KPK(a, b) = KPK(b, a): urutan bilangan tidak penting.
KPK(6, 8) = 24
KPK(8, 6) = 24
KPK bersifat distributif
KPK(a, FPB(b, c)) = FPB(KPK(a, b), KPK(a, c)): KPK terdistribusi atas faktor persekutuan terbesar.
KPK(4, FPB(6, 10)) = KPK(4, 2) = 4
FPB(KPK(4, 6), KPK(4, 10)) = FPB(12, 20) = 4
KPK berkaitan dengan faktor persekutuan terbesar (FPB)
KPK(a, b) × FPB(a, b) = a × b untuk dua bilangan mana pun, jadi mengetahui satu memberi yang lain. Jika FPB(a, b) = 1, KPK-nya adalah a × b.
KPK(12, 18) × FPB(12, 18) = 36 × 6 = 216
12 × 18 = 216
KPK suatu rentang: 1 sampai 10 dan 1 sampai 20
LCM(1 sampai 10) = 2.520 = 2³ × 3² × 5 × 7. LCM(1 sampai 20) = 232.792.560 = 2⁴ × 3² × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19.
Untuk suatu rentang, ambil setiap bilangan prima sampai bilangan teratas dengan pangkat tertinggi yang masih masuk dalam rentang: untuk 1 sampai 10, 2³ = 8, 3² = 9, 5, dan 7. Masukkan daftar sampai 15 bilangan di kalkulator untuk mendapatkan KPK suatu rentang atau himpunan.
Tabel KPK untuk 1 sampai 12
| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 2 | 2 | 2 | 6 | 4 | 10 | 6 | 14 | 8 | 18 | 10 | 22 | 12 |
| 3 | 3 | 6 | 3 | 12 | 15 | 6 | 21 | 24 | 9 | 30 | 33 | 12 |
| 4 | 4 | 4 | 12 | 4 | 20 | 12 | 28 | 8 | 36 | 20 | 44 | 12 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 5 | 30 | 35 | 40 | 45 | 10 | 55 | 60 |
| 6 | 6 | 6 | 6 | 12 | 30 | 6 | 42 | 24 | 18 | 30 | 66 | 12 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 7 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 |
| 8 | 8 | 8 | 24 | 8 | 40 | 24 | 56 | 8 | 72 | 40 | 88 | 24 |
| 9 | 9 | 18 | 9 | 36 | 45 | 18 | 63 | 72 | 9 | 90 | 99 | 36 |
| 10 | 10 | 10 | 30 | 20 | 10 | 30 | 70 | 40 | 90 | 10 | 110 | 60 |
| 11 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 110 | 11 | 132 |
| 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 60 | 12 | 84 | 24 | 36 | 60 | 132 | 12 |
Kesalahan umum
- Pangkat terendah, bukan tertinggi. 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3². KPK memakai 2² dan 3² (36). Pangkat terendah memberikan FPB (6).
- Mengalikan semua bilangan. 12 × 18 = 216 adalah kelipatan persekutuan, tetapi bukan yang terkecil.
- Menghentikan tabel pembagian terlalu awal. Teruskan membagi sampai semua entri menjadi 1.
- Tertukar antara KPK dan FPB. FPB tidak pernah lebih besar dari bilangannya; KPK tidak pernah lebih kecil.
Di mana KPK digunakan
- Menjumlahkan pecahan: 1/12 + 1/15 memakai penyebut 60, KPK dari 12 dan 15.
- Kejadian berulang: bus setiap 12 dan 15 menit berangkat bersama lagi setelah 60 menit; dua roda gigi dengan 12 dan 18 gigi sejajar kembali setelah 36 gigi berlalu.
- Jadwal dan pengubinan: persegi terkecil yang disusun dari persegi panjang 6 × 8 bersisi 24, KPK dari 6 dan 8.
FPB dan KPK bersama
Kartu jawaban di atas menampilkan faktor persekutuan terbesar di samping KPK pada setiap perhitungan, karena keduanya diperoleh dari faktor prima yang sama dan terhubung oleh LCM × GCF = a × b untuk dua bilangan mana pun: untuk 18, 26, 234 × 2 = 468 = 18 × 26.
Pertanyaan yang sering diajukan
Berapa KPK dua bilangan prima?
Hasil kalinya. Bilangan prima tidak memiliki faktor bersama, jadi LCM(7, 11) = 77. Hal yang sama berlaku untuk dua bilangan mana pun dengan FPB 1, misalnya 8 dan 9 (KPK = 72).
Apakah KPK sama dengan kelipatan persekutuan terkecil atau penyebut persekutuan terkecil?
Kelipatan persekutuan terkecil adalah nama lengkap KPK. Penyebut persekutuan terkecil adalah KPK dari penyebut dua pecahan atau lebih, dipakai untuk menjumlahkan atau mengurangkannya: untuk menjumlahkan 1/12 dan 1/15 Anda memakai 60, KPK dari 12 dan 15.
Apa itu kelipatan terkecil?
Kelipatan terkecil dari satu bilangan adalah bilangan itu sendiri (kelipatan terkecil dari 6 adalah 6). Istilah ini biasanya berarti kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan atau lebih: bilangan terkecil yang habis dibagi oleh semuanya. LCM(6, 8) = 24.
Bagaimana cara menghitung KPK dan FPB sekaligus?
Faktorkan setiap bilangan menjadi bilangan prima. KPK mengambil setiap prima dengan pangkat tertinggi; FPB mengambil prima bersama dengan pangkat terendah. Untuk 12 dan 18: KPK = 2² × 3² = 36, FPB = 2 × 3 = 6, dan 36 × 6 = 216 = 12 × 18.
Bagaimana KPK dihitung langkah demi langkah?
Langkah 1: tulis setiap bilangan sebagai hasil kali bilangan prima. Langkah 2: daftar setiap prima yang muncul. Langkah 3: ambil setiap prima dengan pangkat tertinggi yang dicapainya di bilangan mana pun. Langkah 4: kalikan pangkat-pangkat itu. Untuk 12, 15, 75: 12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5, 75 = 3 × 5²; pangkat tertinggi 2² × 3 × 5²; KPK = 300. Pilih "Faktorisasi prima" di atas untuk melihat empat langkah ini dengan bilangan Anda.
Bisakah saya membagikan atau menyimpan perhitungan?
Bisa. Setiap perhitungan memiliki tautannya sendiri, misalnya ?n=12,15,75&m=primes. Klik "Salin tautan" di bawah hasil dan tempel di mana saja; saat dibuka, bilangan dan cara yang sama akan tampil.
Mengutip kalkulator ini
APA: Least Multiple Calculator. (2026). Least Multiple Calculator. Diakses 2026-11-02, dari https://leastmultiplecalculator.com/id/
<a href="https://leastmultiplecalculator.com/id/">Least Multiple Calculator</a>Referensi
- Wikipedia, Kelipatan persekutuan terkecil: definisi, notasi, hubungan LCM × GCD = a × b, penerapan.
- Wolfram MathWorld, Least Common Multiple: sifat-sifat formal.
- Common Core State Standards, 6.NS.B.4: FPB dan KPK di kelas 6.