ما هو المضاعف المشترك الأصغر؟
المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ، LCM) لعددين صحيحين أو أكثر هو أصغر عدد موجب يقبل القسمة على كل منها دون باقٍ. م.م.أ(12, 15, 75) = 300. استخدم حاسبة المضاعف المشترك الأصغر أعلاه لأعدادك الخاصة.
ويُسمى أيضًا المضاعف المشترك الأدنى، وعندما تكون الأعداد مقامات كسور يُسمى المقام المشترك الأصغر. تحتاج إليه لجمع الكسور وطرحها، ولمطابقة الأحداث المتكررة (حافلتان تنطلقان كل 12 و15 دقيقة تلتقيان مجددًا بعد 60)، وفي الجبر ونظرية الأعداد.
الفكرة المرتبطة به هي القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ، ويُسمى أيضًا GCF أو GCD أو HCF): أكبر عدد يقسم جميع الأعداد. ولأي عددين يرتبط الاثنان بالعلاقة م.م.أ × ق.م.أ = a × b.
كيف نوجد م.م.أ باستخدام حاسبة المضاعف المشترك الأصغر: ست طرق
تعرض الحاسبة كل طريقة من هذه الطرق لأعدادك. اختر واحدة تحت «عرض الحل».
كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بسرد المضاعفات
اكتب مضاعفات كل عدد حتى يظهر المضاعف نفسه في كل قائمة. للأعداد 18, 26:
اكتب مضاعفات كل عدد حتى يظهر مضاعف واحد في كل صف. أول عدد يظهر في جميع الصفوف هو المضاعف المشترك الأصغر.
234 هو أول مضاعف مشترك بين جميع الأعداد.
م.م.أ(18, 26) = 234
م.م.أ(18, 26) = 234. الطريقة تنجح، لكن مع الأعداد الكبيرة تصبح القوائم طويلة جدًا، لذا استخدم إحدى الطرق التالية.
كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بالتحليل إلى العوامل الأولية
حلّل كل عدد إلى عوامله الأولية، وخذ أعلى قوة لكل عدد أولي يظهر، ثم اضرب. للأعداد 12, 15, 75:
حلّل كل عدد إلى عوامله الأولية.
- 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
- 15 = 3 × 5
- 75 = 3 × 5 × 5 = 3 × 5²
خذ أعلى قوة لكل عدد أولي يظهر، ثم اضرب هذه القوى معًا.
| العدد الأولي | أعلى قوة | من |
|---|---|---|
| 2 | 2² | 12 |
| 3 | 3 | 12, 15, 75 |
| 5 | 5² | 75 |
م.م.أ = 2² × 3 × 5² = 300
م.م.أ(12, 15, 75) = 300
أعلى القوى: 2² × 3 × 5² = 300. هذه هي الطريقة التي ينبغي تعلّمها: تصلح لأي عدد من الأعداد وأي حجم.
كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بالعوامل الأولية باستخدام الأسس
اكتب كل عدد من 12, 15, 75 كحاصل ضرب أعداد أولية مع أسس، ثم رتّب الأعداد الأولية في جدول. يأخذ المضاعف المشترك الأصغر أكبر أس لكل عدد أولي، أيًّا كان العدد الذي جاء منه.
| العدد | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|
| 12 | ✓ 22 | ✓ 31 | 50 |
| 15 | 20 | ✓ 31 | 51 |
| 75 | 20 | ✓ 31 | ✓ 52 |
| أكبر أس | 22 | 31 | 52 |
م.م.أ = 2² × 3 × 5² = 300
قراءة كل عمود والاحتفاظ بأكبر أس هي الطريقة كلها، ولهذا يصلح التحليل إلى العوامل الأولية لأي عدد من الأعداد وبأي حجم.
- العدد الأولي الغائب من عدد ما أُسّه 0، فلا يُنقص المضاعف المشترك الأصغر أبدًا.
- الاحتفاظ بـأصغر أس في كل عمود مشترك يعطي القاسم المشترك الأكبر.
- إذا لم يكن في أي عمود أُسّان غير صفريين، فالأعداد أولية فيما بينها والمضاعف المشترك الأصغر هو حاصل ضربها.
كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بطريقة السلّم (طريقة الكعكة)
اكتب الأعداد في صف واقسم على عدد أولي يقسم عددين منها على الأقل، وانقل الأعداد الأخرى إلى الأسفل. كرّر حتى لا يبقى عامل مشترك. اضرب القواسم على اليسار في الأعداد المتبقية في الأسفل. للأعداد 12, 15, 75: اقسم على 3, 5؛ الصف الأخير هو 4, 1, 5؛ م.م.أ = 3 × 5 × 4 × 1 × 5 = 300.
اكتب الأعداد في صف واحد. اقسم على عدد أولي يقسم عددين على الأقل منها؛ والأعداد التي لا يقسمها تُنقل إلى الأسفل دون تغيير. كرّر حتى لا يبقى عدد أولي يقسم عددين أو أكثر.
| 3 | 12 | 15 | 75 |
|---|---|---|---|
| 5 | 4 | 5 | 25 |
| 4 | 1 | 5 |
اضرب القواسم على اليسار في الأعداد المتبقية في الصف الأخير:
م.م.أ = 3 × 5 × 4 × 1 × 5 = 300
م.م.أ(12, 15, 75) = 300
كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بطريقة القسمة
مثل طريقة السلّم، لكنك تقسم على أصغر عدد أولي يقسم أي عدد وتستمر حتى يصبح كل عدد 1. م.م.أ هو حاصل ضرب جميع القواسم. إنها الحسابات نفسها في التحليل إلى العوامل الأولية، مرتبة في جدول.
اقسم الصف على أصغر عدد أولي يقسم عددًا واحدًا على الأقل؛ وانقل الباقي إلى الأسفل. استمر حتى يصبح كل عدد 1. م.م.أ هو حاصل ضرب جميع القواسم على اليسار.
| 2 | 12 | 15 | 75 |
|---|---|---|---|
| 2 | 6 | 15 | 75 |
| 3 | 3 | 15 | 75 |
| 5 | 1 | 5 | 25 |
| 5 | 1 | 1 | 5 |
| 1 | 1 | 1 |
م.م.أ = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 2² × 3 × 5² = 300
م.م.أ(12, 15, 75) = 300
كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر من القاسم المشترك الأكبر
لعددين، LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b). لأعداد أكثر، طبّقها بالتسلسل: م.م.أ للعددين الأولين، ثم م.م.أ لهذا الناتج والعدد التالي. للأعداد 21, 14, 38:
لعددين، LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b). مع أعداد أكثر، أوجد م.م.أ للعددين الأولين، ثم م.م.أ لهذا الناتج والعدد التالي، وهكذا.
- ق.م.أ(21, 14) = 7، إذن م.م.أ(21, 14) = 21 × 14 ÷ 7 = 294 ÷ 7 = 42
- ق.م.أ(42, 38) = 2، إذن م.م.أ(42, 38) = 42 × 38 ÷ 2 = 1,596 ÷ 2 = 798
م.م.أ(21, 14, 38) = 798
م.م.أ(21, 14, 38) = 798.
القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ) هو نفسه:
- ق.م.أ، القاسم المشترك الأكبر
- GCF، greatest common factor (الكتب الإنجليزية)
- HCF، highest common factor (بريطانيا والهند)
كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بمخططات فن
ضع العوامل الأولية لكل عدد في دائرة، مع كتابة العوامل المشتركة مرة واحدة في منطقة التداخل. ضرب جميع العوامل في المخطط يعطي م.م.أ؛ ومنطقة التداخل وحدها تعطي ق.م.أ. تصلح لعددين أو ثلاثة أعداد وهي طريقة جيدة لفهم لماذا م.م.أ × ق.م.أ = a × b.
ضع العوامل الأولية لكل عدد في دائرته. العوامل المشتركة بين عددين (أو ثلاثة) توضع في منطقة تداخل الدوائر وتُكتب مرة واحدة. اضرب جميع العوامل في المخطط لتحصل على م.م.أ؛ ومنطقة التداخل وحدها تعطي ق.م.أ.
م.م.أ = 2 × 2 × 5 × 5 × 3 = 300
ق.م.أ = 3 (المنطقة الوسطى) = 3
م.م.أ(12, 15, 75) = 300
أي طريقة أستخدم؟
استخدم التحليل إلى العوامل الأولية إلا إذا كانت الأعداد صغيرة، فحينها تكون كتابة المضاعفات أسرع. استخدم صيغة ق.م.أ عندما تعرف ق.م.أ مسبقًا، والسلّم عندما يطلب صفك جدولًا.
| الطريقة | الأنسب لـ | عدد الأعداد | تعطي ق.م.أ أيضًا |
|---|---|---|---|
| كتابة المضاعفات | الأعداد الصغيرة، الدروس الأولى | 2 أو 3 | لا |
| التحليل إلى العوامل الأولية | أي أعداد، عرض الطريقة | أي عدد | نعم (الأعداد الأولية المشتركة بأدنى قوة) |
| طريقة السلّم | الصفوف التي تدرّس السلّم | 2 إلى 5 | نعم (العمود الأيسر) |
| طريقة القسمة | المناهج الهندية والبريطانية | أي عدد | لا |
| صيغة ق.م.أ | عددان عندما يكون ق.م.أ معروفًا | 2 (بالتسلسل لأكثر) | تستخدمه |
| مخطط فن | فهم لماذا م.م.أ × ق.م.أ = a × b | 2 أو 3 | نعم (منطقة التداخل) |
صيغة م.م.أ
LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b)
لأكثر من عددين لا توجد صيغة واحدة؛ استخدم التحليل إلى العوامل الأولية أو طبّق صيغة العددين بالتسلسل.
كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد العشرية
- اضرب كل عدد عشري في 10 أو 100 أو 1,000 حتى تصبح كلها أعدادًا صحيحة، مستخدمًا قوة 10 نفسها للجميع.
- أوجد المضاعف المشترك الأصغر لتلك الأعداد الصحيحة بأي طريقة أعلاه.
- اقسم ذلك المضاعف على قوة 10 نفسها.
لـ 0.6, 0.4: اضرب في 10 لتحصل على 6, 4؛ م.م.أ = 12؛ اقسم على 10 → 1.2.
اضرب الأعداد العشرية في 10 أو 100 أو 1,000 حتى تصبح أعدادًا صحيحة، وأوجد م.م.أ، ثم اقسم مرة أخرى: LCM(0.5, 2.5) → LCM(5, 25) = 25 → 2.5. أما الكسور، فإن م.م.أ للكسور هو م.م.أ للبسوط مقسومًا على ق.م.أ للمقامات، والعدد المستخدم لجمع الكسور هو المقام المشترك الأصغر من حاسبة المقام المشترك الأصغر. كلاهما محلول في م.م.أ للكسور والأعداد العشرية.
خصائص المضاعف المشترك الأصغر
تنطبق هذه القواعد على جميع الأعداد الصحيحة الموجبة. تذكر كل بطاقة القاعدة وتتحقق منها بأعداد حقيقية.
المضاعف المشترك الأصغر تجميعي
م.م.أ(a, م.م.أ(b, c)) = م.م.أ(م.م.أ(a, b), c): اجمع ثلاثة أعداد بأي ترتيب ولن يتغير المضاعف المشترك الأصغر.
م.م.أ(4, م.م.أ(6, 8)) = م.م.أ(4, 24) = 24
م.م.أ(م.م.أ(4, 6), 8) = م.م.أ(12, 8) = 24
المضاعف المشترك الأصغر تبديلي
م.م.أ(a, b) = م.م.أ(b, a): ترتيب الأعداد لا يهم.
م.م.أ(6, 8) = 24
م.م.أ(8, 6) = 24
المضاعف المشترك الأصغر توزيعي
م.م.أ(a, ق.م.أ(b, c)) = ق.م.أ(م.م.أ(a, b), م.م.أ(a, c)): يتوزع المضاعف المشترك الأصغر على القاسم المشترك الأكبر.
م.م.أ(4, ق.م.أ(6, 10)) = م.م.أ(4, 2) = 4
ق.م.أ(م.م.أ(4, 6), م.م.أ(4, 10)) = ق.م.أ(12, 20) = 4
المضاعف المشترك الأصغر مرتبط بالقاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ)
م.م.أ(a, b) × ق.م.أ(a, b) = a × b لأي عددين، فمعرفة أحدهما تعطي الآخر. إذا كان ق.م.أ(a, b) = 1 فالمضاعف المشترك الأصغر هو a × b ببساطة.
م.م.أ(12, 18) × ق.م.أ(12, 18) = 36 × 6 = 216
12 × 18 = 216
م.م.أ لمدى: من 1 إلى 10 ومن 1 إلى 20
LCM(1 إلى 10) = 2,520 = 2³ × 3² × 5 × 7. LCM(1 إلى 20) = 232,792,560 = 2⁴ × 3² × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19.
للمدى، خذ كل عدد أولي حتى العدد الأعلى بأعلى قوة تظل ضمن المدى: من 1 إلى 10، 2³ = 8، 3² = 9، 5 و7. أدخل أي قائمة تصل إلى 15 أعداد في الحاسبة للحصول على م.م.أ لمدى أو مجموعة.
جدول م.م.أ من 1 إلى 12
| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 2 | 2 | 2 | 6 | 4 | 10 | 6 | 14 | 8 | 18 | 10 | 22 | 12 |
| 3 | 3 | 6 | 3 | 12 | 15 | 6 | 21 | 24 | 9 | 30 | 33 | 12 |
| 4 | 4 | 4 | 12 | 4 | 20 | 12 | 28 | 8 | 36 | 20 | 44 | 12 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 5 | 30 | 35 | 40 | 45 | 10 | 55 | 60 |
| 6 | 6 | 6 | 6 | 12 | 30 | 6 | 42 | 24 | 18 | 30 | 66 | 12 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 7 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 |
| 8 | 8 | 8 | 24 | 8 | 40 | 24 | 56 | 8 | 72 | 40 | 88 | 24 |
| 9 | 9 | 18 | 9 | 36 | 45 | 18 | 63 | 72 | 9 | 90 | 99 | 36 |
| 10 | 10 | 10 | 30 | 20 | 10 | 30 | 70 | 40 | 90 | 10 | 110 | 60 |
| 11 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 110 | 11 | 132 |
| 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 60 | 12 | 84 | 24 | 36 | 60 | 132 | 12 |
أخطاء شائعة
- أدنى قوة بدلًا من أعلى قوة. 12 = 2² × 3، 18 = 2 × 3². م.م.أ يستخدم 2² و3² (36). أدنى القوى تعطي ق.م.أ (6).
- ضرب جميع الأعداد. 12 × 18 = 216 مضاعف مشترك، لكنه ليس الأصغر.
- إيقاف جدول القسمة مبكرًا. استمر في القسمة حتى يصبح كل عدد 1.
- الخلط بين م.م.أ وق.م.أ. ق.م.أ لا يكون أكبر من الأعداد أبدًا؛ وم.م.أ لا يكون أصغر منها أبدًا.
أين يُستخدم م.م.أ
- جمع الكسور: 1/12 + 1/15 يستخدم المقام المشترك الأصغر 60، وهو م.م.أ للعددين 12 و15.
- الأحداث المتكررة: حافلتان تنطلقان كل 12 و15 دقيقة تنطلقان معًا مجددًا بعد 60 دقيقة؛ وترسان بـ12 و18 سنًا يعودان إلى وضعهما بعد مرور 36 سنًا.
- الجداول والتبليط: أصغر مربع يُبلَّط بمستطيلات 6 × 8 طول ضلعه 24، وهو م.م.أ للعددين 6 و8.
ق.م.أ وم.م.أ معًا
تعرض بطاقة الناتج أعلاه القاسم المشترك الأكبر بجانب م.م.أ في كل عملية، لأن الاثنين يُستخرجان من العوامل الأولية نفسها ويرتبطان بالعلاقة م.م.أ × ق.م.أ = a × b لأي عددين: للأعداد 18, 26، 234 × 2 = 468 = 18 × 26.
أسئلة شائعة
ما هو م.م.أ لعددين أوليين؟
حاصل ضربهما. الأعداد الأولية لا تشترك في أي عامل، لذا LCM(7, 11) = 77. وينطبق الأمر نفسه على أي عددين ق.م.أ لهما 1، مثل 8 و9 (م.م.أ = 72).
هل م.م.أ هو نفسه المضاعف المشترك الأدنى أو المقام المشترك الأصغر؟
المضاعف المشترك الأدنى هو الشيء نفسه (المصطلح البريطاني). أما المقام المشترك الأصغر فهو م.م.أ لمقامات كسرين أو أكثر، ويُستخدم لجمعها أو طرحها: لجمع 1/12 و1/15 تستخدم 60، وهو م.م.أ للعددين 12 و15.
ما هو المضاعف الأصغر؟
المضاعف الأصغر لعدد واحد هو العدد نفسه (المضاعف الأصغر للعدد 6 هو 6). وتعني العبارة عادةً المضاعف المشترك الأصغر لعددين أو أكثر: أصغر عدد يقبل القسمة عليها جميعًا. LCM(6, 8) = 24.
كيف أحسب م.م.أ وق.م.أ معًا؟
حلّل كل عدد إلى عوامله الأولية. م.م.أ يأخذ كل عدد أولي بأعلى قوة؛ وق.م.أ يأخذ الأعداد الأولية المشتركة بأدنى قوة. للعددين 12 و18: م.م.أ = 2² × 3² = 36، ق.م.أ = 2 × 3 = 6، و36 × 6 = 216 = 12 × 18.
كيف يُحسب م.م.أ خطوة بخطوة؟
الخطوة 1: اكتب كل عدد كحاصل ضرب أعداد أولية. الخطوة 2: اكتب كل عدد أولي يظهر. الخطوة 3: خذ كل عدد أولي بأعلى قوة يبلغها في أي عدد. الخطوة 4: اضرب هذه القوى. للأعداد 12, 15, 75: 12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5, 75 = 3 × 5²؛ أعلى القوى 2² × 3 × 5²؛ م.م.أ = 300. اختر «التحليل إلى العوامل الأولية» أعلاه لترى هذه الخطوات الأربع لأعدادك.
هل يمكنني مشاركة عملية حسابية أو حفظها؟
نعم. لكل عملية حسابية رابطها الخاص، مثل ?n=12,15,75&m=primes. انقر «نسخ الرابط» تحت الناتج والصقه في أي مكان؛ وعند فتحه تظهر الأعداد نفسها وخطوات الحل.
الاستشهاد بهذه الحاسبة
APA: Least Multiple Calculator. (2026). Least Multiple Calculator. تم الاسترجاع في 2026-11-02، من https://leastmultiplecalculator.com/ar/
<a href="https://leastmultiplecalculator.com/ar/">Least Multiple Calculator</a>المراجع
- ويكيبيديا، المضاعف المشترك الأصغر: التعريف، الترميز، العلاقة LCM × GCD = a × b، التطبيقات.
- Wolfram MathWorld، Least Common Multiple: الخصائص الرسمية.
- Common Core State Standards، 6.NS.B.4: ق.م.أ وم.م.أ في الصف السادس.