Qu’est-ce que le plus petit dénominateur commun ?
Le plus petit dénominateur commun de deux fractions ou plus est le plus petit nombre divisible par tous les dénominateurs. Celui de 1/4 et 1/6 est 12. C’est le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs.
On ne peut additionner, soustraire ou comparer des fractions que si elles ont le même dénominateur. Le plus petit dénominateur commun est le plus petit d’entre eux, ce qui garde des nombres petits. Le PPCM en général est expliqué sur Calculateur de Plus Petit Commun Multiple ; cette page porte sur les dénominateurs.
Comment le calculateur de plus petit dénominateur commun trouve le résultat : trois méthodes
1. Lister les multiples des dénominateurs
Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16. Multiples de 6 : 6, 12, 18. Le premier multiple commun est 12, donc le plus petit dénominateur commun de 1/4 et 1/6 est 12.
2. Décomposition en facteurs premiers
4 = 2² et 6 = 2 × 3. Prenez chaque nombre premier à sa plus grande puissance : 2² × 3 = 12. C’est la méthode pour les grands dénominateurs ou plus de deux fractions.
3. Vérifier si un dénominateur divise l’autre
Pour 1/3 et 1/9, 9 est un multiple de 3, donc le résultat est 9 sans autre calcul. Pour 1/5 et 1/7, les dénominateurs n’ont aucun facteur commun, donc c’est 5 × 7 = 35.
Exemple détaillé : additionner 1/4 et 1/6
- Plus petit dénominateur commun = PPCM(4, 6) = 12.
- 1/4 = 3/12 (multipliez en haut et en bas par 3) ; 1/6 = 2/12 (multipliez par 2).
- 3/12 + 2/12 = 5/12.
Trois fractions : 1/2, 1/3 et 1/4
Dénominateur commun = PPCM(2, 3, 4) = 12. Réécrites : 6/12, 4/12, 3/12. Somme = 13/12 = 1 1/12.
Nombres mixtes et décimaux
Convertissez d’abord. 2 1/3 = 7/3 et 1 1/4 = 5/4, donc le dénominateur commun est PPCM(3, 4) = 12 et la somme est 43/12 = 3 7/12. Un décimal comme 0.5 devient 5/10 (ou 1/2 après simplification) ; le calculateur accepte les deux formes.
Plus petit dénominateur commun, PPCM et PGCD
| Terme | S’applique à | Sert à | Exemple |
|---|---|---|---|
| Plus petit dénominateur commun | dénominateurs de fractions | additionner, soustraire, comparer des fractions | 1/4 + 1/6 → 12 |
| PPCM | nombres entiers | événements répétés ; le dénominateur commun lui-même | PPCM(4, 6) = 12 |
| PGCD | nombres entiers | simplifier une fraction, groupes égaux | 6/8 ÷ 2 = 3/4 |
Le PPCM des fractions elles-mêmes (PPCM des numérateurs ÷ PGCD des dénominateurs) est un autre exercice.
Tableau de dénominateurs communs
| Dénominateurs | Dénominateur commun | PGCD |
|---|---|---|
| 2 et 3 | 6 | 1 |
| 2 et 4 | 4 | 2 |
| 3 et 4 | 12 | 1 |
| 4 et 6 | 12 | 2 |
| 6 et 8 | 24 | 2 |
| 5 et 10 | 10 | 5 |
| 6 et 9 | 18 | 3 |
| 8 et 12 | 24 | 4 |
| 10 et 15 | 30 | 5 |
| 12 et 18 | 36 | 6 |
Plus petit dénominateur commun avec des variables
Factorisez chaque dénominateur et prenez chaque facteur distinct à sa plus grande puissance. 1/(x + 2) + 1/(x − 1) a pour dénominateur commun (x + 2)(x − 1) ; 1/x² + 1/(xy) a x²y. C’est la règle des facteurs premiers, avec des facteurs à la place des nombres premiers.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que le plus petit dénominateur commun ?
C’est le plus petit nombre divisible par tous les dénominateurs de deux fractions ou plus. Pour 1/4 et 1/6, c’est 12, car 12 est le premier nombre divisible par 4 et par 6.
Comment trouver le dénominateur commun de deux fractions ?
Trouvez le PPCM des deux dénominateurs. Pour 1/4 et 1/6 : PPCM(4, 6) = 12. Réécrivez chaque fraction : 1/4 = 3/12 et 1/6 = 2/12.
Comment le trouver pour trois fractions ?
Trouvez le PPCM des trois dénominateurs. Pour 1/2, 1/3 et 1/4 : PPCM(2, 3, 4) = 12, ce qui donne 6/12, 4/12, 3/12.
Le plus petit dénominateur commun est-il le PPCM ?
Oui, au sens où c’est le PPCM des dénominateurs. Le PPCM est une propriété des nombres entiers ; ici, ce nombre sert de dénominateur partagé.
Quelle différence avec le PGCD ?
Le dénominateur commun sert à additionner ou soustraire des fractions de dénominateurs différents. Le PGCD (plus grand commun diviseur) sert à simplifier une fraction.
Comment le trouver avec des variables ?
Factorisez chaque dénominateur et prenez chaque facteur distinct à sa plus grande puissance. Pour 1/(x + 2) et 1/(x − 1), c’est (x + 2)(x − 1) ; pour 1/x² et 1/(xy), c’est x²y.
En ai-je besoin pour multiplier des fractions ?
Non. Multiplier et diviser des fractions ne demande jamais de dénominateur commun. Il ne sert que pour additionner, soustraire et comparer.
Puis-je utiliser n’importe quel dénominateur commun ?
Oui. Tout multiple commun des dénominateurs convient, par exemple 4 × 6 = 24 pour 1/4 et 1/6. Le plus petit garde des nombres petits et réduit la simplification finale.
Sources
- Wikipedia: Lowest common denominator: définition (en anglais)
- Wolfram MathWorld: Least Common Multiple: propriétés du PPCM (en anglais)